mituot03

Cho pt $x^{4}-3x^{2}+2(m-1)x-m^{2}+2m=0$. Tìm m để pt có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_{1}.x_{2}.x_{3}.x_{4}$ max.

Giải pt: x$^{2}$ +y$^{2}$ =z$^{2}$ vs x,y,z $\in$ N, z lẻ , x,y là lũy thừa của số nguyên tố

Bạn có thể chứng minh giúp minh bổ để 111...11555...56( k số 1 và k-1 số 5 la 1 số cp không?
Mình thấy vd 111111555556 không phai số cp

@nguyenta98: có bạn ạ nó bằng $333334^2$ tính tay thử đi

4/$\left\{\begin{matrix}x^{2}y+xy^{2}=6\\xy+x+y=5 \end{matrix}\right.$
5/$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+x+y=8\\xy+x^{2}+y^{2}=7 \end{matrix}\right.$

4. Đặt xy = a, x+y = b
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a.b=6\\ a+b = 5 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow a=2, b=3$ hoặc $b=2, a=3$
Th1 x, y là nghiệm của pt $X^{2}-3X +2 =0$$\Rightarrow x\in \left \{ 1;2 \right \}$
Th2$X^{2}-2X +3 =0$ vn
Vậy $\Rightarrow x\in \left \{ 1;2 \right \}$
5. x+y = a, xy = b. Ta có
$\left\{\begin{matrix} a^{2}-2b + a= 8\\ b+a^{2} -2b=7 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}-2b + a= 8\\ b= a-1 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow a^{2}- a -6=0 $
$\Rightarrow a\in \left \{ 3; -2 \right \}$
$\Rightarrow b\in \left \{ 2;-3 \right \}$
$\Rightarrow \left ( a;b \right )=\left ( 3;2 \right ),\left ( -2;-3\right )$
giải tương tự 4 =>$\Rightarrow \left ( x;y \right )=\left ( 2;1 \right ),\left ( 1;2\right )\left ( 1; -3 \right )\left ( 3;-1 \right )$

Cách 2 $xy(x^{2}+y^{2})=2\frac{1}{2}xy(x^{2}+y^{2})\leq \frac{1}{2}\frac{(2xy+x^{2}+y^{2})^{2}}{4}=\frac{(x+y)^{4}}{8}=2$
Có $xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{4}=1$
$\Rightarrow x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 1.2=2$

$(a+b+c)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right ) =1 $
$\Leftrightarrow 3 +\frac{b^{2}a+b^{2}c+a^{2}c+a^{2}b+c^{2}a+c^{2}b}{abc} =1 $
$\Leftrightarrow \frac{b^{2}a+b^{2}c+a^{2}c+a^{2}b+c^{2}a+c^{2}b+2abc}{abc}=0$
$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(a+c)=0$
Vai trò của a,b,c như nhau xét a+b = 0 $\Rightarrow c=1$
$a^{2009}+b^{2009}+c^{2009}=(a+b).M +c^{2009}=1^{2009} =1$

Có $x^{8}-x^7 +x^5- x^4 +x^3 -x+1 =\frac{x^{10}+x^{5}+1}{x^{2}+x+1}$
$x^{10}+x^{5}+1= (x^5+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}$
$\Rightarrow x^{10}+x^{5}+1>0$
$x^{2}+x+1= (x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}>0$
$\Rightarrow x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1 >0$

ahead325:

Có $x^{8}-x^7 +x^5- x^4 +x^3 -x+1 =\frac{x^{10}+x^{5}+1}{x^{2}+x+1}$
$x^{10}+x^{5}+1= (x^5+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}$
$\Rightarrow x^{10}+x^{5}+1>0$
$x^{2}+x+1= (x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}>0$
$\Rightarrow x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1 >0$

$P/S:$ Có vẻ như bạn nhầm đề rồi nhỉ ?

Cho (O,R) và dây cố định AB<2R, K là điểm chính giữa cung nhỏ AB; N là điểm tùy ý trên AB (N$\neq$A,B) Kn cắt (O) tại M.
a) C/m tổng bán kính 2 đường tròn (ANM) và (BNM) không phụ thuộc vào vị trí của N.
b) Tìm tập hợp I là trung điểm của đoạn thẳng nối tâm hai đường tròn (ANM) và (BNM)

Gọi d là đường thẳng chia hinh vuông thành 2 tư giác có tỉ số S là 2:3
Dễ thấy d không thể cắt hai cạnh kề nhau
Giả sử d cắt 2 cạnh AB và CD lần lượt tại M và N, cắt đường trung binh EF của hình vuông tại I
Có $S_{AMND}= IE.AD, S_{BMNC}= IF. BC$
$\Rightarrow \frac{S_{AMNB}}{S_{BMNC}}=\frac{IE}{IF}=\frac{2}{3}$
($S_{AMNB} <S_{BMNC}$)
$\Rightarrow$ d chia trung bình của hình vuông theo tỉ lệ 2:3 và tồn tai 4 điểm như vậy
Mà 4n+1 : 4=n( dư 1)
Áp dụng Điricle$\Rightarrow$ tồn tại n+1 đường thẳng d thỏa mãn đề bài.
Ps: Em không vẽ được hình mong mọi người thông cảm

OO' cắt (O) tại T
Có AB$\perp OO'$$\Rightarrow cungAT=cungBT$
$\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{O'OB}$
Mà $\widehat{CBD}$ chung
$\Rightarrow \bigtriangleup CBD\sim \bigtriangleup OBO'(gg)$
$\Rightarrow \frac{R}{R'}=\frac{BC}{BD}$

a) Các tứ giác MIHB, MIKC, ABMC nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{HBM}=\widehat{MCK}=\widehat{MIK} $
Mà $\widehat{HBM}+\widehat{HIM}=180^{o}$
$\Rightarrow \widehat{KIM}+\widehat{HIM}=180^{o}$
$\Rightarrow$ H,I,K thẳng hàng
b) Có $\widehat{MHC}=\widehat{MAK}=\widehat{MBC}$
$\widehat{HMK}=\widehat{CMB}$
$\Rightarrow \Delta HMK \sim \Delta BMC(gg)$
Có $MH\leq MB\Rightarrow HK\leq BC\Rightarrow HKmax=BC$
Qua B kẻ đường vg với AB cắt (O) tại đâu thi đó là vị trí M cần tìm

Xét $\Delta =5m^{2}-2m+1$
$\Rightarrow$pt có 2 nghiệm pb với mọi m
Áp dụng Viét
Có $x_{1}+x_{2}=3m-1$,$x_{1}.x_{2}=2m^{2}-2$
$\left | x_{1}-x_{2} \right |\leq 10$
$\Rightarrow \left | x_{1}-x_{2} \right |^{2}\leq 100$
$\Rightarrow ( x_{1}+x_{2} )^{2}- 4x_{1}.x_{2}\leq 100$
$\Rightarrow 5m^{2}-2m+1\leq 100$

Uh mình nhầm! Cách của bạn ngắn thiệt đó
Xét $\Delta = 25-4m+12=37-4m$
pt có 2 nghiệm pb $\Leftrightarrow \Delta > 0,m< \frac{37}{4}$
Mà $x_{1}< 2< x_{2}$
$\Rightarrow x_{1}=\frac{-5-\sqrt{37-4m}}{2};x_{2}=\frac{-5+\sqrt{37-4m}}{2}$
$\Rightarrow \frac{-5-\sqrt{37-4m}}{2}< 2< \frac{-5+\sqrt{37-4m}}{2}$
$\Rightarrow -5-\sqrt{37-4m}2< 4< -5+\sqrt{37-4m}$$\Rightarrow 9< \sqrt{37-4m}$
$\Rightarrow m< -11$
$\Rightarrow -11>m$

Câu 4. $a,t,n \in \mathbb{N}$
Xét $a=3t \Rightarrow a^{2}=9t^{2}=3n$
Xét $a=3t+1 \Rightarrow a^{2}=9t^{2}+6t+1=3n+1$
Xét $a=3t+2 \Rightarrow a^{2}=9t^{2}+12t+4=3n+1$
$\Rightarrow$ đpcm

1.
Giả sử $x,y,z$ không chia hết cho $3$
$\Rightarrow x^{2}\equiv y^{2}\equiv z^{2}\equiv 1(mod3)$
$\Rightarrow x^{2}+ y^{2}\equiv z^{2}\equiv 2(mod3)$(mâu thuẫn)
$\Rightarrow$ giả sử sai hay $xyz \vdots 3$
Giả sử $x,y, z$ không chia hết cho $5$
$\Rightarrow x^{2}\equiv y^{2}\equiv z^{2}\equiv \pm 1(mod5)$
$\Rightarrow x^{2}+ y^{2}\equiv z^{2}\equiv 0;2(mod5)$ (mâu thuẫn)
$\Rightarrow$ giả sử sai hay $xyz \vdots 5$
tg tự cm $xyz \vdots 2$
$\Rightarrow$đpcm

2. Với x=0 thì M= 0
Với $x\neq 0$
$\Rightarrow M=\frac{1}{x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}}}$
Áp dụng BDT Côsi bộ 2 số
$M\leq \frac{1}{1+2\sqrt{x^{2}.\frac{1}{x^{2}}}} \Leftrightarrow M\leq \frac{1}{3}$
Dấu "=" xảy ra <=> x=1
Vậy Mmax= $\frac{1}{3}$