TNP

Bài đề nghị số 2 của TNP:Cho một hình vuông ABCD được chia thành 64 ô vuông bằng nhau. Chúng ta sẽ lát hình vuông bằng các domino 2x1 sao cho không có domino nào chờm lên nhau và toàn bộ diện tích của hình vuông đều được phủ kín bởi các domino. Ta gọi các domino có cạnh dài hơn song song với AD và BC là "nằm dọc", các domino có cạnh dài hơn song song với AB và CD là "nằm ngang". Chứng minh rằng hình vuông ABCD chỉ được lát bởi các domino thỏa các yêu cầu trên khi và chỉ khi số domino nằm dọc và số domino nằm ngang đều là số chẵn.
Giải:
Ta đánh số các ô vuông như sau:
13131313
22222222
13131313
22222222
13131313
22222222
13131313
22222222
(xin lỗi vì em không biết tạo một cái table dùng câu lệnh latex thế nào, hi vọng các anh hiểu)
Bây giờ, mọi domino nằm ngang đều phủ các ô có số 1 và số 3 hoặc là 2 ô có số 2, như vậy domino nằm ngang đều phủ các ô có tổng giá trị là 4, là một số chẵn.
Mặt khác, các domino nằm dọc lại phủ các ô mà tổng 2 ô đó đều là 3 hoặc 5, là một số lẻ.
Mà tổng giá trị các số nằm trong mỗi ô là 128, vậy nhất định số ô nằm dọc phải là số chẵn, mà ta cần 32 domino để phủ bàn cờ, vậy số ô nằm ngang cũng là số chẵn, ta có đpcm.

Đề bài:Cho 2013 ô vuông xếp thành một hàng, ta tô mỗi ô bằng mỗi màu xanh hoặc đỏ sao cho số cặp ô cùng màu bằng số cặp ô khác màu. Nếu ô đầu tiên là ô đỏ tính từ trái sang phải thì ô cuối cùng màu gì? Tại sao?(Mỗi cặp ô bao gồm hai ô vuông liên tiếp nhau)
Đáp án:Tô 1007 ô đầu tiên màu đỏ, ô thứ 1008 màu xanh, ô thứ 1009 màu đỏ,... ta tiếp tục tô xen kẽ như thế đến hết 2013 ô, ta sẽ có bộ 2013 ô thỏa mãn và dễ thấy ô cuối cùng là màu đỏ.
Bây giờ gọi $A$ là số cặp ô cùng màu, $B$ là số cặp ô khác màu, khi ta tô 2013 ô như trên ta có $A=B$ hay $A-B=0$. Kí hiệu ô thứ $k$ là $s_k$ tính từ trái sang phải.Chọn một ô $s_i(i \epsilon N, 2 \leq i \leq 2012)$, nếu ta đổi màu ô đó thì giá trị của $A$ sẽ tăng hoặc giảm 2 đơn vị và giá trị của $B$ sẽ giảm hoặc tăng 2 đơn vị tương ứng với $A$, như vậy qua mỗi lần đổi màu $s_i(i \epsilon N, 2 \leq i \leq 2012)$, giá trị của $A-B$ sẽ tăng hoặc giảm 4 giá trị.
Xét $s_{2013}$, với $s_{2013}$ là màu đỏ thỏa giá trị thì nếu ta đổi màu $s_{2013}$, $A$ sẽ tăng một hoặc giảm một đơn vị và $B$ sẽ giảm hoặc tăng một đơn vị tương ứng, như thế, ta thấy rằng nếu ta đổi $s_{2013}$ từ đỏ thành xanh, giá trị của $A-B$ luôn chia 4 dư 2, không thể nào bằng 0, vậy $s_{2013}$.
Đề xuất hướng mở rộng:với ý tưởng tương tự, ta sử dụng quy nạp và có thể chứng minh được với mọi số lẻ ô vuông, ô đầu và ô cuối cùng màu.