Eizan

Bài 41
Cho đường tròn (O) có đường kính AB =2R. Gọi M là điểm bất kì thuộc (O) (MA <MB). Qua B vẽ đường thẳng (d) vuông góc với AB, tiép tuyến tại M cắt (d) tại N và AB tại K. AM cắt (d) tại E. OM cắt (d) tại H, gọi F là điểm đối xứng của E qua B.
a. Cm: tứ giác OAMN là hình thang.
b. Gọi C là giao điểm của AM và HK. Cm: $\large OC^{2}=OH.R$
c. Cm: 4 điểm A, H, F, K cùng thuộc một đường tròn. Giả sử tứ giác OCMN là hình bình hành. Tính OH theo R

Câu b sai đề.
Câu c.
Dễ dàng chứng minh được tam giác AEF là tam giác cân do có AB vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.
$\Rightarrow \widehat{AFE}=\widehat{AEF}$
mà $\widehat{AKH}=\widehat{AEF}$ (cùng phụ với góc KHB)
$\Rightarrow \widehat{AKH}=\widehat{AFE}$
$\Rightarrow$ tứ giác AKHF nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong)

Bài 113.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Dựng hình bình hành APHQ (P thuộc BE, Q thuộc CF). Gọi M là trung điểm của BC.
Chứng mình AM vuông góc PQ
Đề thi thử của trung tâm 218 Lý Tự Trọng.




Ps: câu này là câu c, còn câu a, b của bài thì mình quên mất hình như là chứng mình tứ giác nội tiếp cũng dễ không có gì khó, chỉ còn nhớ câu c. Câu d thì chứng mình bất đẳng thức gì đấy chưa kịp ngó qua. Đề để lạc đâu mất, kiếm mãi không thấy nên chỉ post câu c lên, khi nào tìm được đề mình sẽ bổ sung sau. Mọi người thông cảm.

Bài 112.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. AD cắt (O) tại K.
Tính $AD^{2}+BD^{2}+CD^{2}+DK^{2} theo R$

Bài 72
AB và AC là 2 tiếp tuyến của (O;R) (B, C là tiếp điểm). Vẽ CH vuông góc với AB tại H, cắt (O) tại E và cắt OA tại D.
1. Cm: CO = CD
2. Cm: tứ giác ABCD là hình thoi
3. Gọi M là trung điểm của CE. BM cắt OH tại I. Cm I là trung điểm của OH
4. Tiếp tuyến tại E với (O) cắt AC tại K. Cm 3 điểm O, M, K thẳng hàng

Bài 50: Cho đường tròn © và điểm I nằm trong đường tròn. Dựng qua I hai dây cung bất kỳ MIN, EIF. Gọi M’, N’, E’, F’ là các trung điểm của IM, IN, IE, IF.
a) Chứng minh rằng : tứ giác M’E’N’F’ là tứ giác nội tiếp.
b) Giả sử I thay đổi, các dây cung MIN, EIF thay đổi. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác M’E’N’F’ có bán kính không đổi.
c) Giả sử I cố định, các day cung MIN, EIF thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau. Tìm vị trí của các dây cung MIN, EIF sao cho tứ giác M’E’N’F’ có diện tích lớn nhất.

----------------

a) Chứng minh rằng : tứ giác M’E’N’F’ là tứ giác nội tiếp.
$\widehat{M'F'E'} = \widehat{MFE}$ (đường trung bình)
$\widehat{M'N'E'} = \widehat{MNE}$ (đường trung bình)
mà $\widehat{MFE} = \widehat{MNE}$ (cùng chắn cung ME)
$\Rightarrow$ tứ giác nội tiếp

b) Giả sử I thay đổi, các dây cung MIN, EIF thay đổi. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác M’E’N’F’ có bán kính không đổi.
Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác M’E’N’F’
$\Rightarrow$ $\Delta M'JF' \sim \Delta MOF$ (2 tam giác cân, có $\widehat{M'JF'} = 2\widehat{M'N'F'}$ , $\widehat{MOF} = 2\widehat{MNF}$)
$\Rightarrow$ $\frac{JF'}{OF} = \frac{M'F'}{MF} = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow$ bán kính đường tròn J luôn không đổi

c) Giả sử I cố định, các dây cung MIN, EIF thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau. Tìm vị trí của các dây cung MIN, EIF sao cho tứ giác M’E’N’F’ có diện tích lớn nhất.
$S_{M'E'N'F'} = \frac{1}{2}M'N'.E'F'=\frac{1}{2}\frac{MN.EF}{4}$
$\Rightarrow$ $S_{M'E'N'F'}max$ khi MN.EF max
Ta có $MN\leq 2R, EF\leq 2R$
$\Rightarrow$ $MN.EF\leq 4R^{2}$
Dấu "=" xảy ra khi MN và EF là 2 đường kính.
$\Rightarrow$ I trùng với O

Ps: câu c giải có vẻ không ổn lắm, có gì thiếu sót mọi người đóng góp ý kiến cho mình nhe.

Câu đó chắc chắn là sai đề, vì mình có đo trên máy, không thể bằng nhau.

Bài 49
CHo tam giác ABC có góc A = 60 độ, nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi BF, CE là 2 đường cao cắt nhau tại H.
a. Cm: tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn tâm I, xác định tâm I
b. Vẽ đường kính AK. CM: H, I, K thẳng hàng.
c. So sánh AH và EF
d. Tính CH.CE + BH.BF theo R



Ps: bài này rất dễ, có điều câu d không biết có sai đề hay không mà mình giải hoài không ra. Post lên đây để mọi người tham khảo, nếu ai giải ra thì hay quá. Còn không thì chắc là ....sai đề

Bài 46
Cho đường tròn (O;R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của BC và OA.
a. Cm: $OH.OA = R^{2}$
b. Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O;R) lấy điểm K bất kỳ khác B và C. Tiếp tuyến tại K cắt AB, AC theo thứ tự tại P và Q. Cm: chu vi tam giác APQ không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.
c. Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại M và N. CM: $\Delta OMP \sim \Delta QNO$
d. Cm: $PM + QN \geq MN$

Bài 44:
Cho $\triangle ABC(AB<AC) $có ba góc nhọn nội tiếp (O) và ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. EF cắt AH tại K, I là trung điểm AH. Từ K vẽ đt $d || BC$ cắt AB, BE lấn lượt tại M, N.

a) Chứng minh K là trung điểm MN.
b) Chứng minh K là trực tâm $\triangle BIC$.
c) Khi S_ABC = 3 S_ABH , chứng minh $ \triangle ABC$ có $ \tan A + \tan B = 2\tan C$

a) Chứng minh K là trung điểm MN.
Hướng giải
Cần chứng minh KM = KN
$\Rightarrow$ kiếm các cặp tam giác đồng dạng có chứa KM, KN. Từ tỉ số đồng dạng suy ra bằng nhau
Dữ kiện cho: MN//BC
$\Rightarrow$ $\Delta AMK \sim \Delta ABD$
$\Rightarrow$$\frac{MK}{BD}=\frac{AK}{AD}$ (1)
Lại có $\Delta HKN \sim \Delta HDB$
$\Rightarrow$ $\frac{KN}{BD}=\frac{KH}{KD}$ (2)
Từ (1) và (2) => cần cm $\frac{AK}{AD} = \frac{KH}{KD}$
Nhận thấy các đoạn thẳng này đều nằm trên cùng 1 đường thẳng, có thể sử dụng tính chất của đường phân giác trong và phân giác ngoài
$\Rightarrow$ Cm: EH là tia phân giác của góc KED (quá dễ)
AE vuông góc với EH $\Rightarrow$ AE là tia phân giác ngoài của góc KED.
VIết các tỉ lệ sẽ thu được $\frac{AK}{AD} = \frac{KH}{KD}$

b) Chứng minh K là trực tâm $\triangle BIC$.
Câu này đã được giải ở đây, post 83
http://forum.mathsco...?t=27989&page=6

c) Khi S_ABC = 3 S_ABH , chứng minh $ \triangle ABC$ có $ \tan A + \tan B = 2\tan C$
S_ABC = 3 S_ABH => CF = 3HF => CH = 2HF
$\widehat{BAC}=\widehat{BHF}$
$\Rightarrow$ tan A = $\frac{BF}{HF}$
$\widehat{ABC}=\widehat{AHF}$
$\Rightarrow$ tan B = $\frac{AF}{HF}$
tan A + tan B = $\frac{BF}{HF}$ + $\frac{AF}{HF}$ = $\frac{AB}{HF}$ = $\frac{2AB}{HC}$
Ta có tan C = $\frac{BE}{CE}$
Xét tam giác ABE và HCE có 2 góc bằng nhau
$\Rightarrow$ đồng dạng
$\Rightarrow$$\frac{AB}{HC} = \frac{BE}{CE}$
$\Rightarrow$ dpcm

Bài 40:

Cho tam giác ABC không cân, đ­ường cao AH, nội tiếp trong đ­ường tròn tâm O. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của B, C lên đ­ường kính AD của đ­ờng tròn (O) và M, N thứ tự là trung điểm của BC, AB. Chứng minh:a) Bốn điểm A,B, H, E cùng nằm trên đ­ờng tròn tâm N và HE// CD.
b) M là tâm đ­ờng tròn ngoại tiếp tam giác HEF.

a) Bốn điểm A,B, H, E cùng nằm trên đ­ờng tròn tâm N và HE// CD.
ABHE nội tiếp $\Rightarrow$ $\widehat{EHC} = \widehat{BAE}$
mà $\widehat{BCD} = \widehat{BAE}$
$\Rightarrow$ $\widehat{EHC} = \widehat{BCD}$
$\Rightarrow$HE//CD

b) M là tâm đ­ường tròn ngoại tiếp tam giác HEF.
Hướng giải
Cần phải cm HM=ME=MF
Nhận thấy NH=NE
$\Rightarrow$ NM là đường trung trực của HE
$\Rightarrow$ cần chứng minh NM vuông góc với HE
mà NM // AC (đường trung bình)
AC vuông góc với CD (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
lại có CD // HE (cm trên)
Tới đây bài toán được giải quyết.

CM HM =HF cũng tương tự
Cm HF//BD
Gọi L là trung điểm AC
LM là đường trung bình tam giác ABC
....
cm tương tự như trên sẽ có MH = MF =ME
$\Rightarrow$ dpcm

Bài 43:
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). các đường cao AD, BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a. Cm: tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp và xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
b. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại M và cắt đường tròn (O) tại K và T (K nằm giữa M và T).
Cm: MK.MT=ME.MF
c. Cm: tứ giác IDKT là tứ giác nội tiếp
d. Đường thẳng vuông góc với IH tại I cắt các đường thẳng AB, AC và AD lần lượt tại N, S và J. Cm J là trung điểm của đoạn NS

b) Hình như câu này có vấn đề ! Thử nhận xét rồi các bạn cho ý kiến :
Theo đề bài : cm được OH = OK nên : $OC^{2}=OH.R=OK.OA\Rightarrow \Delta OAC\sim \Delta OCK$ (?)

Mình có check lại, đề thì mình chép không sai. Nhưng mình đo trên máy tính thì đúng là không thể có đẳng thức đó. Có lẽ đề bị in nhầm chỗ nào đó. Để mình tìm lại đề cho đúng hơn. Cảm ơn bạn.

Bài 38:
Cho tam giác vuông ABC (vuông tại A; AB > AC) và một điểm M nằm trên đoạn AC (M không trùng với A và C). Gọi N và D lần l­ợt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đ­ường tròn đ­ờng kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đ­ường tròn đư­ờng kính MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh:
a. Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc một đư­ờng tròn.
b. CM là phân giác của $\angle BCS$
c. $ \frac{{TA}}{{TD}} = \frac{{TC}}{{TB}} $

b. CM là phân giác của $\angle BCS$
Tứ giác CSDM nội tiếp
$\Rightarrow$ $\widehat{SCM}= \widehat{ADM}$
Tứ giác CDAB nội tiếp
$\Rightarrow$ $\widehat{BCM}= \widehat{ADM}$
$\Rightarrow$$\widehat{BCM}= \widehat{SCM}$
$\Rightarrow$ CM là tia phân giác góc BCS

c. $ \frac{{TA}}{{TD}} = \frac{{TC}}{{TB}} $
Xét tam giác BCT
AC và TN là 2 đường cao cắt nhau tại M
$\Rightarrow$ BM vuông góc với CT
mà CD vuông góc với MB
$\Rightarrow$ C, D, T thẳng hàng
dễ dàng cm được $\Delta TCA \sim \Delta TBD$
$\Rightarrow$ dpcm

Bài 41
Cho đường tròn (O) có đường kính AB =2R. Gọi M là điểm bất kì thuộc (O) (MA <MB). Qua B vẽ đường thẳng (d) vuông góc với AB, tiép tuyến tại M cắt (d) tại N và AB tại K. AM cắt (d) tại E. OM cắt (d) tại H, gọi F là điểm đối xứng của E qua B.
a. Cm: tứ giác OAMN là hình thang.
b. Gọi C là giao điểm của AM và HK. Cm: $\large OC^{2}=OH.R$
c. Cm: 4 điểm A, H, F, K cùng thuộc một đường tròn. Giả sử tứ giác OCMN là hình bình hành. Tính OH theo R

Bài 34 :

Cho tam giác ABC nhọn ( AB > AC ) nội tiếp (O;R). Vẽ đường cao BE của tam giác ABC. Qua E vẽ đường thẳng vuông góc với OA, cắt AB tại F.
a) Cm : tứ giác BCEF nội tiếp. Xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
b) BE cắt CF tại H. Gọi M là điểm đối xứng của H qua BC; HM cắt BC tại D. Cm : tiếp tuyến tại E và F của đường tròn (K) và đường thẳng AD đồng quy.
c) Đường thẳng EF cắt (O) tại P và Q. Cm : AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PHD.
d) Cho $\widehat {CBA} = {45^0};\widehat {CBE} = {15^0}.$ Tính ${S_{\Delta AEF}}$theo R.

a. Cm : tứ giác BCEF nội tiếp. Xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
Vẽ đường kính AT của đường tròn (O)
Xét $\large \Delta ABT$ và $\large \Delta AIF$ có 2 góc bằng nhau
=> đồng dạng
=> $\large \widehat{AFI} = \widehat{ATB} =\widehat{ACB}$
=> tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kinh BC, tâm K là trung điểm BC

b. BE cắt CF tại H. Gọi M là điểm đối xứng của H qua BC; HM cắt BC tại D. Cm : tiếp tuyến tại E và F của đường tròn (K) và đường thẳng AD đồng quy.
Gọi N là trung điểm của AH dễ dàng cm được NE và NF là 2 tiếp tuyến của đường tròn (K) => đpcm

c. Đường thẳng EF cắt (O) tại P và Q. Cm : AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PHD.

OA vuông góc với PQ
=> OA là đường trung trực của PQ
=> AP = AQ
Xét $\large \Delta APF$ và $\large \Delta ABP$
có góc A chung
$\large \widehat{APF} = \widehat{ABP}$ (chắn 2 cung AP, AQ bằng nhau)
=>$\large \frac{AP}{AB}=\frac{AF}{AP}$
=> $\large AP^{2}=AF.AB$
Xét $\large \Delta AFH và \Delta ADB$ có 2 góc bằng nhau
=> $\large \frac{AF}{AD}=\frac{AH}{AB}$
=> AH.AD=AF.AB
=>$\large AP^{2}=AH.AD$
=> $\large \Delta APH \sim \Delta ADP$
=> $\large \widehat{APH}=\widehat{ADP}$
=> AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PHD

d. Cho $\widehat {CBA} = {45^0};\widehat {CBE} = {15^0}.$ Tính ${S_{\Delta AEF}}$theo R.
Từ các thông số dễ dàng tính ra 3 góc của tam giác ABC
góc A =60, góc B = 45, góc C = 75
$\large \widehat{BAC}=60^{o} =>\widehat{BOC}=120^{o} => BC = R\sqrt{3}$
$\large \widehat{ABC}=45^{o} =>\widehat{AOC}=90^{o} => AC = R\sqrt{2}$
Xét tam giác ACD vuông tại D
$\large AD=AC.sin\widehat{ACB}=AC.sin75^{o}$
$\large S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AD.BC=\frac{1}{2}R\sqrt{3}.R\sqrt{2}sin75$
Ta có $\large \Delta AEF\sim \Delta ABC$
=>$\large \frac{S_{\Delta AEF}}{S_{\Delta ABC}}=\left ( \frac{AE}{AB} \right )^{2}= cos^{2}\widehat{A}=cos^{2}60^{o}=1/4$
=>$\large S_{\Delta AEF}=\frac{S_{\Delta ABC}}{4}$

Cách này ko sử dụng tới điểm M lại phải vẽ thêm đường kính, chắc là còn 1 cách khác để làm câu a và câu b. Bạn nào có cách khác có thể post lên cho mọi người tham khảo.
---------

Bài 35:
Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ cát tuyến ABC với đường tròn. Các tiếp tuyến với đường tròn tại B và C cắt nhau ở D. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AO tại H và cắt đường tròn tại E và F (E nằm giữa D và F). Gọi M là giao điểm của OD và BC. Chứng minh:
a. Tứ giác EMOF nội tiếp
b. AE, AF là 2 tiếp tuyến của (O)
c. Từ B vẽ đường thẳng vuông góc với OF cắt CF tại P và EF tại Q. Cm: Q là trung điểm BP
d. DF cắt BC tại I, cm: $\large MI.MA=\frac{BC^{2}}{4}$