Scientists

Bài 83:
Có $\left\{\begin{matrix}
x^{3}-x^{2}+xy(1-y)+3=0 & \\
x^{4}+x+y+1=x^{2}y(2x-y) &
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^{3}-xy^{2}-x^{2}+xy+3=0 & \\
x^{4}-2x^{3}y+x^{2}y^{2}+x+y+1=0 &
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x(x-y)(x+y)-x(x-y)+3=0 & \\
x^{2}(x-y)^{2}+(x+y)+1=0 &
\end{matrix}\right.$
Đặt $\left\{\begin{matrix}
x(x-y)=a & \\
x+y=b &
\end{matrix}\right.$
Khi đó có $\left\{\begin{matrix}
ab-a+3=0 & \\
a^{2}+b+1=0 &
\end{matrix}\right.$
Rút b theo a từ pt 2 thế vào pt1 ta sẽ tìm được nghiệm (a,b) từ đó suy ra (x,y)

Có $A=2(x^{3}+y^{3}+z^{3})+3(x^{2}+y^{2}+z^{2})+12xyz$
$=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-(xy+yz+zx))+6xyz+3(x^{2}+y^{2}+12xyz$
$=4(x^{2}+y^{2}+z^{2})-(xy+yz+zx)+18xyz$
Ad bđt thường dùng có x+y+z=1
Nên $9xyz\geq 4(xy+yz+zx)-1$
Thay vào bđt trên có
$A\geq 4(x^{2}+y^{2}+z^{2})-(xy+yz+zx)+8(xy+yz+zx)-2$
$=4(x+y+z)^{2}-(xy+yz+zx)-2$
$\geq 4-\frac{1}{3}(x+y+z)^{2}-2=\frac{5}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Bài 76: Có $\left\{\begin{matrix} x^{3}y(1+y))+x^{2}y^{2}(y+2)+xy^{3}=30 & \\ x^{2}y+x(1+y+y^{2})+y-11=0 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x^{3}y+2x^{2}y^{2}+xy^{3})+x^{3}y^{2}+x^{2}y^{3}=30 & \\ x^{2}y+xy^{2}+x+y+xy=11 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy(x+y)^{2}+x^{2}y^{2}(x+y)=30 & \\ xy(x+y)+x+y+xy=11 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy(x+y)(xy+x+y)=30 & \\ xy(x+y)+x+y+xy=11 & \end{matrix}\right.$
Đặt: $\left\{\begin{matrix} xy(x+y)=a & \\ xy+x+y=b & \end{matrix}\right.$
Khi đó hệ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ab=30 & \\ a+b=11 & \end{matrix}\right.$
Đến đây rảnh rùi...

Đk: $-1\leq x\leq 2$
Từ pt2 có $2x^{3}-y^{3}+x^{2}y^{2}=2xy-3x^{2}+3y$
$\Leftrightarrow 2x(x^{2}-y)+y^{2}(x^{2}-y)+3(x^{2}-y)=0$
$\Leftrightarrow (x^{2}-y)(2x+y^{2}+3)=0$
$\Leftrightarrow x^{2}=y$ hoặc $2x+y^{2}+3=0$
Th1:$2x+y^{2}+3=0$
$\Leftrightarrow x=\frac{-(y^{2}+3)}{2}\leq \frac{-3}{2}$ (loại)
Th2:$x^{2}=y$
Thay vào pt1 được: $x^{2}-x+1+\sqrt{2}=\sqrt{x+1}+\sqrt{2-x}$ $\Leftrightarrow x^{2}-x=\sqrt{x+1}-1+\sqrt{2-x}-\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow x^{2}-x=\frac{x}{\sqrt{x+1}+1}-\frac{x}{\sqrt{2-x}+\sqrt{2}}$ $\Leftrightarrow x=0\Rightarrow y=0$
Hoặc $x-1=\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}-\frac{1}{\sqrt{2-x}+\sqrt{2}}$
$\Leftrightarrow x-1=\frac{\sqrt{2-x}+\sqrt{2}-\sqrt{1+x}-1}{(\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{2-x}+\sqrt{2})}$
$\Leftrightarrow x-1=\frac{\sqrt{2-x}-1+\sqrt{2}-\sqrt{1+x}}{(\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{2-x}+\sqrt{2})}$
Liên hợp ... được $x=1\Rightarrow y=1$
Vậy...

Có $A=\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{5c^{2}-4c+2}$
$\geq \sum \frac{2ab}{5c^{2}-4c+2}$
$=\sum \frac{2}{5c^{3}-4c^{2}+2c}$
$=\sum \frac{2}{c^{3}(5-\frac{4}{c}+\frac{2}{c^{2}})}$
Xét hàm $f(t)=5-\frac{4}{t}+\frac{2}{t^{2})}$ với $t> 0$
Có $f'(t)=\frac{4}{t^{2}}-\frac{4}{t^{3}}=\frac{4(t-1)}{t^{3}}$ $f'(t)=0\Leftrightarrow t=1$
$\Rightarrow Maxf(t)=3 khi t=1$
Có $A\geq \sum \frac{2}{c^{3}f©}\geq \frac{2.3}{abc}\sum \frac{1}{3}= 2$ Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Gọi số phức cần tìm có dạng $z=a+bi$ ($a; b\in \mathbb{R}$)
Vì $\frac{z-1}{\bar{z}+1}$ là 1 số thuần ảo
Nên $\frac{z-1}{\bar{z}+1}+\bar{\frac{z-1}{\bar{z}+1}}=0$
$\Leftrightarrow \frac{z-1}{\bar{z}+1}+\frac{\bar{z}-1}{z+1}=0$ $\Leftrightarrow \frac{z^{2}-1+\bar{z}^{2}-1}{(\bar{z}+1)(z+1)}=0$ $\Leftrightarrow z^{2}+\bar{z}^{2}-2=0$
$\Leftrightarrow a^{2}-b^{2}=1$ (1)
Lại có: $\left | a+1+(b-1)i \right |=\left | a+2+(2-b)i \right |$
$\Leftrightarrow \sqrt{(a+1)^{2}+(b-1)^{2}}=\sqrt{(a+2)^{2}+(b-2)^{2}}$ $\Leftrightarrow (a+1)^{2}+(b-1)^{2}=(a+2)^{2}+(b-2)^{2}$
$\Leftrightarrow a^{2}+2a+1+b^{2}-2b+1=a^{2}+4a+4+b^{2}-4b+4$ $\Leftrightarrow a-b=-3\Rightarrow a+b=\frac{-1}{3}$ (do (1)) $\Leftrightarrow a=\frac{-5}{3}; b=\frac{4}{3}$
Vậy số phức cần tìm là: $z=\frac{-5}{3}+\frac{4}{3}i$

Bài 58:
Đk: $\left\{\begin{matrix} y\geq 0 & \\ x\geq \frac{3}{2} & \end{matrix}\right.$
Khi đó, từ pt2 ta có: $y^{2}+2y-3=xy+3x$
$\Leftrightarrow (y+3)(y-1)=x(y+3)$
$\Leftrightarrow x=y-1$ (Do $y+3> 0$)
Thay vào pt1 ta được: $\sqrt{2y-5}-\sqrt{y}=(y^{2}+2012)(5-y)$
$\Leftrightarrow \frac{2y-5-y}{\sqrt{2y-5}+\sqrt{y}}=(y^{2}+2012)(5-y)$
$\Leftrightarrow (y-5)(\frac{1}{\sqrt{2y-5}+\sqrt{y}}+y^{2}+2012)=0$
Vì $\frac{1}{\sqrt{2y-5}+\sqrt{y}}+y^{2}+2012> 0$ với $y\geq 0$
Nên $y=5\Rightarrow x=4$
Vậy hệ có nghiệm (4; 5)