Akira Vinh HD

C.50:
$f(x) = x+\frac{1}{x^x}= x+x^{-x} \Rightarrow f' =1 -x^x(\ln x+ 1)$
Ta CM $f' > 0 \forall x\in (0, 1)$
$\Leftrightarrow x^x(\ln x+1) < 1$
Do $x\in (0,1) \Rightarrow 0<x^x<1, \ln x+ 1<1$ , suy ra $f(x)' > 0$
$\Rightarrow f(x)< f(1)= 2\blacksquare \blacksquare \blacksquare $

Lâu lắm rồi mới post bài Bất đẳng thức không khó lắm đâu hình như bài này là của anh hungvuongpdl thì phải!
Cho a,b,c >0 ,$a+b+c=3$ .CMR:
$\frac{a^2}{a+2} + \frac{b^2}{b+2} + \frac{c^2}{c+2} \leq \frac{3}{ab+bc+ac}$

BĐT tương đương
$S=a+b+c-2(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}) \leq \frac{3}{ab+bc+ca}$
tương đương
$P=\frac{3}{ab+bc+ca}+2\sum \frac{1}{a+2} \geq 3$
Dễ thấy
$\frac{3}{ab+bc+ca} \geq 1$
$\sum \frac{1}{a+2}\geq 1$
Xong.