duc12116

Link download: http://www.mediafire...8atfb4g0dhy55pn

Cái này là ông scan hay lấy của vnmath vậy? ông làm ơn fix lại link được không, nếu là lấy từ vnmath thì ghi rõ nguồn ra để mọi ngưòi cùng down nhé. Dạo này nghỉ hè, đạp xe ra tít hiệu sách xa tới 8 km để mua thì có mà chết!

Thanks vì đã chia sẻ

Cách thứ 2 đơn giản hơn nhiều bởi vì nó sử dụng kiến thức THPT, chỉ cần 2 biến x, y về một biến t rồi khảo sát hàm số

Đại loại thì x= 1/2 +t ; y= 1/2 -t

\[P = {(a + b + c)^2} - 2(ab + bc + ca) = 100 - 2abc\]

Suy ra cần tìm Max abc. Từ hpt biểu diễn abc theo c ta được \[abc = \frac{{20{c^2} - 2{c^3}}}{{c - 1}}\] (1<c<10)

Đến đây khảo sát hàm số tìm ra c=2, a=b=4

p/s bài này chắc giải được bằng pp dồn biến để khử biến c. Nhưng em cùi quá không nghĩ ra, mong anh tocngan giúp đỡ để em hiểu hơn về pp này

Những đánh giá mà mình sử dụng đều không đủ mạnh để giải     

 

Với mấy bài thế này thì biến đổi tương đương có vẻ hiệu quả nhất 

 

$T = ab(a^2+b^2) + bc(b^2+c^2) + cd(a^2+c^2) + da(d^2+a^2) + ac(a^2+c^2) + bd(b^2+d^2)$

 

Nhận thấy dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=d=\frac{1}{2}$ thì $T=\frac{3}{4}$ nên hướng mình đến cách giải sau :

 

Để  ý rằng : $xy(x^2+y^2) = \frac{x^4+y^4+6x^2y^2-(x+y)^4}{4}$ nên thay vào $T$ ta có :

 

$T=\frac{3(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{4}-\frac{(a-b)^4+(b-c)^4+(c-d)^4+(d-a)^4}{4}$

 

$T=\frac{3}{4}-\frac{(a-b)^4+(b-c)^4+(c-d)^4+(d-a)^4}{4} \leq \frac{3}{4}$

 

GTLN của $T$ là $\frac{3}{4}$ khi $a=b=c=d=\frac{1}{2}$

 

Đây cũng là đáp án của trường Lý Tự Trọng , cách giải này hay vì nó thuận lợi quá        

Ok, các anh thử tổng quát hoá nó đi, em có bài tương tự đây và cũng đã TQH được nó (giống 95%):

Cho cac số thực không âm a, b,c thoả mãn a+b+c=1. Tìm MAX: \[P = \sum {a({b^2} + {c^2})} \]

Bài toán TQ;  Cho n  số thực không âm a(1); a(2);..................................a(n) thoả mãn a(1) +a(2) +.................+a(n) =1. Tìm MAX: 

\[P = \sum {a_1^2} (a_2^2 + a_3^2 + ................ + a_n^2)\]

Lời giải bài 2: Đây là lời giải của em. Em nghĩ đây chắc cũng là lời giải của tác giả do thấy nó thuận lợi quá :

---

 

-Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

$$(\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y})(x+(x+2y))\ge (\frac{x^2}{y}+3y)^2$$

 

-Lại do $x^2+y^2=2$ nên có:

$$\frac{x^2}{y}+3y=\frac{2-y^2}{y}+3y=2(y+\frac{1}{y})\ge 4$$

(Điểm thuận lợi chính ở đoạn này )

 

Thêm vào đó, dễ dàng chứng minh $x+(x+2y)=2(x+y)\le 4$ nên suy ra:

$$\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\ge \dfrac{4^2}{4}=4$$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$

 

---

Việc tìm ra lời giải của bài toán là do phát hiện được $x+(x+2y)=2(x+y)\le ...$ và khi $x=y=1$ thì ta cũng đảm bảo được dấu bằng của Cauchy-Schwarz. Ngoài ra còn "ăn may" ở đoạn trên nữa

Gần giống cách của em, em nhân thêm x vào cả tử và mẫu của P/S x^3/y^2 và nhân thêm y^2 vào cả tử và mẫu P/S 9y^2/ (x+2y) sau đó áp dụng Bunhi cộng mẫu