C a c t u s

Thế này nhé : ta lấy pt (1) trừ đi 3 lần pt (2) , tức là 

$(x^2+y^2+xy-3y-4)-3.(2x-3y+xy-3)=0$

$\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy+6y-6x-5=0$

$\Leftrightarrow (x-y)(x-y-6)=-5$

Do $x-y-6<x-y$ nên hoặc $x-y=5$ và $x-y-6=-1$; hoặc $x-y=1$ và $x-y-6=-5$. Đến đây thay vào các phương trình đầu để tìm $x,y$.

Nhưng đây có phải là phương trình nghiệm nguyên đâu mà suy ra được như thế này nhỉ ?

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BẮC GIANG

Năm học 2012-2013

KỲ THI CHỌN HSG MÔN TOÁN 9

Ngày thi: 30/3/2013

Thời gian: 150 phút

-----------

Câu 1:

1. Tính giá trị biểu thức: $A=\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}-\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}$

2. Rút gọn biểu thức:

$P=\frac{\sqrt{a-2}+2}{3}.(\frac{\sqrt{a-2}}{3+\sqrt{a-2}}+\frac{a+7}{11-a}) : (\frac{3\sqrt{a-2}+1}{a-3\sqrt{a-2}-2}-\frac{1}{\sqrt{a-2}})$

Câu 2:

1. Giải phương trình: $3\sqrt{x^3+8}=2x^2-3x+10$

2. Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+xy+1=4y & \\ (x^2+1)(x+y-2)=y & \end{matrix}\right.$

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn với mỗi số nguyên lẻ $a$ mà $a^2 \le n$ thì $n \vdots a$

$4\sqrt{4-x^2} + 12x\sqrt{4-x^2} = 5x^2 +6x + 8$

$4\sqrt{4-x^2} + 12x\sqrt{4-x^2} = 5x^2 +6x + 8$
$\Leftrightarrow 4\sqrt{4-x^2}-8+12x\sqrt{4-x^2}=5x^2+6x$
$\Leftrightarrow ...$

$\Leftrightarrow x(\frac{-4x}{\sqrt{4-x^2}+2}+12\sqrt{4-x^2}-5x-6)=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
x=0 & \\
\frac{-4x}{\sqrt{4-x^2}+2}+12\sqrt{4-x^2}-5x-6=0 (*) &
\end{bmatrix}$
Giải $(*)$ ta có:
$\frac{-4x}{\sqrt{4-x^2}+2}+12\sqrt{4-x^2}-5x-6=0$
(Chỗ này chỉ biết làm trâu bò thôi: Nhân hết lên rồi bình phương :-s)
Kết quả:
$x=0; x=\frac{2}{13}(3+4\sqrt{3})$

Đề thi HSG tỉnh Yên Bái 2012-2013
1, GPT:
$\mid {x-1}\mid + \mid {x+1}\mid = 1+ \mid {x^2 - 1}\mid$
2, Cho $x+y=1, x^3 + y^3=a, x^5+y^5 = b$
CMR: $9b+1=5a(a+1)$
Câu 2:(4đ)giải hệ pt
\begin{array}{l} x^2 +y^2+ xy = 1 \\ x^3 + y^3 =x+3y \end{array} \right.
Câu 3: 5đ
Cho tam giác vuông ABC, $\hat{A} =90^o$, $BC=2AC$. H là trung điểm BC, $G\in AB$ sao cho $ BG = 2 GA$. Phân giác của $\hat{BAH}$ cắt CG, GH, BC ở M,N,P.
1, Cm AC = MC
2, CM PM = NA
Câu 4: (3đ)
Cho hình chữ nhật ABCD. M,N lần lượt là trung điểm của AD,BC. E là điểm bất kì trên AB. Hình chiếu của E lên MN là H. DH cắt CE tại P. So sánh:
$\hat{PNM}$ và $\hat{DNM}$
Câu 5: (2đ)
Tìm nghiệm nguyên của pt:
$5(x^2+y^2)=13(x+y)$
-----
P.s: Thấy bên hocmai.vn nên post ở đây để mọi người cùng xem
Link bên hocmai: http://diendan.hocma...441#post2248441

Bài :
$\left\{\begin{matrix} x^{2}y^{2}+2y^{2}+4=7xy & \\ x^{2}+2y^{2}+6y=3xy^{2} & \end{matrix}\right.$

- TH1: $y=0$: Hpt vô nghiệm.
- TH2: $y \ne 0$:
Hệ phương trình đã cho trở thành:
$\left\{\begin{matrix} x^{2}+2+\frac{4}{y^2}= \frac{7x}{y} & \\ \frac{x^2}{y^2}+2+\frac{6}{y}=3x& \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-\frac{2}{y})^2-\frac{3x}{y}+2=0& \\ \frac{x^2}{y^2}-3(x-\frac{2}{y})+2=0& \end{matrix}\right.$
Đặt $\left\{\begin{matrix}x-\frac{2}{y}=u& \\ \frac{x}{y}=v & \end{matrix}\right.$
Hệ phương trình trở thành:
$\left\{\begin{matrix}u^2-3v+2=0& \\ v^2-3u+2=0 & \end{matrix}\right.$
Trừ vế với vế....
-------------

Bạn có lời giải khá hay. Nhưng mình thấy bước biến đổi đầu có chút sai sót, mặc dù chỉ là lỗi đánh máy, mong bạn sửa lại để lời giải hoàn chỉnh hơn.

Cảm ơn bạn, mình đã sửa.

Điều kiện $0 \leq x \leq 1$. Phương trình có thể viết: $\sqrt{x}\left(\sqrt{x+1} + \sqrt{1 - x}\right) = x + 1 $
hay: $ \sqrt{x + 1} + \sqrt{1 - x} = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ (1)
$VT \leq \sqrt{(1^2 + 1^2)(x + 1 + 1 - x)} = 2$ (BĐT Bunhiacopxki) (2)
$VP \geq 2$ (BĐT Cauchy) (3)
Do đó (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2), (3) có dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x = 1$

Mình nghĩ $x$ đâu có khác 0 mà bạn lại chia cả 2 vế cho $\sqrt{x}$ luôn được.

giải phương trình:
a) $x^{2}+x+3=(x+3)\sqrt{x^{2}+1}$

Đặt $x+3=a; \sqrt{x^2+1}=b;$
Khi đó phương trình trở thành: $b^2-1+a=ab$
$\Leftrightarrow a-ab-(1-b^2)=0$
$\Leftrightarrow a(1-b)-(1-b)(1+b)=0$
$\Leftrightarrow (1-b)(a-1-b)=0$
$\Leftrightarrow ...$

Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn:
$\frac{x^2-3}{xy+3}$ nguyên

Bài toán:
Cho $u_1=1$ ; $u_2=\sqrt[3]{2}$ ; $u_3=\sqrt[3]{2+\sqrt[3]{3}}$; ...
Tính giá trị của $u_{2010}$. Kết quả lấy đủ 10 chữ số. Nêu quy trình bấm phím liên tục để tính $u_n$ (n>7)

Cho $\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{ab}{cd}$ với a,b,c,d $\neq$ d và -d.Chứng minh rằng hoặc $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ hoặc $\frac{a}{b}=\frac{d}{c}$

Lâu lâu ko post bài rồi, góp vui tí
-------------
Từ đầu bài suy ra: $a^2cd+b^2cd=abc^2+abd^2 \Leftrightarrow ac(ad-bc)-bd(ad-bc)=0 \Leftrightarrow (ac-bd)(ad-bc)=0 \Leftrightarrow \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ hoặc $\frac{a}{b}=\frac{d}{c}$

$$ Đề 6 . THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 ( Tiền Giang )$$
Bài 1: a,Giả sử các số a,b thỏa mãn : $\left\{\begin{matrix} a^{3}-3ab^{2}=233 & \\ b^{3}-3a^{2}b= 2010 & \end{matrix}\right.$
Tính $P= a^{2}+b^{2}$

Ta có: $a^3-3ab^2=233 \Leftrightarrow a^6-6a^4b^2+9a^2b^4=54289$ (1)
$b^3-3a^2b=2010 \Leftrightarrow b^6-6a^2b^4+9a^4b^2=4040100$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $(a^2+b^2)^3=4094389 \Rightarrow P=\sqrt[3]{4094389}$

Bài 2:
a, Giải phương trình:$\sqrt{x-1}+\sqrt{x^{3}+x^{2}+x+1}= 1+\sqrt{x^{4}-1}$

* ĐKXĐ: $x \ge 1$
* Khi đó:
$\sqrt{x-1}+\sqrt{x^{3}+x^{2}+x+1}= 1+\sqrt{x^{4}-1}$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x-1}-1)(1-\sqrt{(x+1)(x^2+1)})=0$
......

Một cách:
_____________________
ĐKXĐ: $x \ge 0$
+Xét $x=2$ ta thấy là nghiệm của pt.
+Xét $x>2$ ta thấy vế phải của pt lớn hơn vế trái nên suy ra vô nghiệm
+Xét $0 \le x<2$ta thấy vế phải của pt nhỏ hơn vế trái nên pt cũng vô nghiệm

Kết luận: .................

Anh có thể làm rõ ở 2 trường hợp sau được ko ạ? Em ko hiểu lắm :-s

Giải phương trình:
$\sqrt{x^2+12}+5=3x+\sqrt{x^2+5}$

Bài 5:
$p=x-2\sqrt{xy}+2y-2\sqrt{x}+2012=(\sqrt{x}-\sqrt{y}-1)^2+(\sqrt{y}-1)^2+2010 \ge 2010$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=4;y=1$