reddevil1998

Đây là một bài toán đã lâu nhưng phải công nhận là rất hay , bài này mình vừa mới làm được hôm trước với một lời giải rất đẹp(nếu bạn nào muốn biết thì mình sẽ post lên (khá dài đấy))

Bài toán:Cho $n>1$ nguyên .Cho một dãy $n$ đèn $L_{0},L_{1},...,L_{n}$ chúng có thể tắt hoặc bật, ta thực hiện một dãy hành động với Bước $1$ , Bước $2$ ,...thỏa mãn nếu $L_{j-1}$ ($j$ lấy theo mod $n$) được bật thì bước $j$ đổi trạng thái $L_{j}$(Bật thành tắt và ngược lại).Nếu $L_{j-1}$ tắt thì ở bước $j$ trạng thái các đèn không thay đổi.CM

1.Tồn tại $M(n)$ nguyên dương sao cho sau $M(n)$ bước thì tất cả các đèn bật.

2.Với $n=2^{k}$ , Cm các đèn bật sau $n^{2}-1$ bước.

3.Với $n=2^{k}+1$.Cm các đèn bật sau $n^{2}-n+1$ bước.

Đây là một bài toán rất hay , sẽ không khó với nhừng ai đã quen với khái niệm sum set và nhất là định lí Cauchy Davenport

Bài toán:Cho G là một đồ thị đầy đủ trên $1000p$ dỉnh ($p$ nguyên tố ), các cạnh được đánh dấu bởi các số nguyên .CM có một chu trình mà tổng các số được đánh dấu chia hết cho $p$

Trường tổ chức viết chuyên đề , thử gửi lên diễn đàn cho các bạn xem sao.

Chú Nguyên làm được bài này chưa, bài này chú đố anh từ hè mà bây giờ mới làm ra

Bài toán:

Cho n nguyên dương ,đặt $S_{n}=1!+2!+...+n!$

CM tồn tại $n$ nguyên dương để $S_{n}$ có ước nguyên tố $>10^{2012}$

Gửi các bạn bài này , chắc dễ thôi ,đây là bài thầy Đặng Hùng Thắng ra cho đội tuyển KHTN

Bài toán:

Tìm $f:N\rightarrow N$ thỏa mãn

1) $f$ là toàn ánh

2)$f(n)\geq n+(-1)^{n}$