$y=\left ( \frac{1+\sin^2x}{\sin^2x} \right )^n+\left ( \frac{2-\sin^2x}{\sin^2x} \right )^n$ Đặt $\sin^2x=t$ với $t\in (0;1]$ $\Rightarrow y=f(t)=\left ( \frac{1+t}{t} \right )^n+\left ( \frac{2-t}{t} \right )^n$ $f'(t)=\frac{n(1+t)^{n-1}.(2-t)^n+n(1+t)^n.(2-t)^{n-1}}{t^{2n}}>0,\forall t\in (0;1]$ Suy ra hàm số $f(t)$ đồng biến trên R Lập bảng biến thiên ta tìm được $\max y=f(1)=2^n$ khi $\sin^2t=1\Leftrightarrow x=k\pi\pm \frac{\pi }{2}$ Hàm số không có GTNN
bài của bạn có rất nhiều vấn đề:
1. cái chỗ $y=\left ( \frac{1+\sin^2x}{\sin^2x} \right )^n+\left ( \frac{2-\sin^2x}{\sin^2x} \right )^n$
$\cos ^{2}x= 1-\sin ^{2}x$ mới đúng
từ đây dẫn ra những sai lầm tiếp theo
Đặt $\sin^2x=t$ với $t\in (0;1]$
phải là (0;1) mới đúng
do đó tới cái khúc cuối
$\max y=f(1)=2^n$ khi $\sin^2t=1$ là ko thể
xem thử bài mình tìm min nhá:
nhớ na ná có 1 bất đẳng thức thế này:
với $a\geq 0$ và $b\geq 0$, n thuộc N thì:
$(\frac{a+b}{2})^{n}\leq \frac{a^{n}+b^{n}}{2}$
hay: $a^{n}+b^{n}\geq \frac{1}{2^{n-1}}(a^{n}+b^{n})$
áp dụng vào thử xem:
$y= (\frac{1+\sin ^{2}x}{\sin ^{2}x})^{n}+(\frac{1+\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x})^{n}$
$\geq \frac{1}{2^{n-1}}(\frac{1+\sin ^{2}x}{\sin ^{2}x}+\frac{1+\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x})^{n}$
ta lại có:
$(\frac{1+\sin ^{2}x}{\sin ^{2}x}+\frac{1+\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x})^{n}$=$(\frac{1}{\sin ^{2}x}+\frac{1}{\cos^{2}x }+2)^{n}$
=$(\frac{1}{\sin ^{2}x\cos ^{2}x}+2)^{n}=(\frac{4}{\sin ^{2}2x}+2)^{n}$
$0< sin ^{2}2x\leq 1 => \frac{4}{sin ^{2}2x}+2\geq 6$
=> $(\frac{4}{\sin ^{2}2x}+2)^{n}\geq 6^{n}=>y\geq \frac{1}{2^{n-1}}.6^{n}$
$=> min y=\frac{1}{2^{n-1}}.6^{n}$ đạt được khi:
$\frac{1}{\sin ^{2}x}+1=\frac{1}{\cos ^{2}x}+1$ và $\sin ^{2}2x=1$
<=> $x=\frac{pi}{4}+kpi/2$, k thuộc Z
tham khảo và cho ý kiến nha các bạn!
- Primary yêu thích