kazehikaru

$y=\left ( \frac{1+\sin^2x}{\sin^2x} \right )^n+\left ( \frac{2-\sin^2x}{\sin^2x} \right )^n$ Đặt $\sin^2x=t$ với $t\in (0;1]$ $\Rightarrow y=f(t)=\left ( \frac{1+t}{t} \right )^n+\left ( \frac{2-t}{t} \right )^n$ $f'(t)=\frac{n(1+t)^{n-1}.(2-t)^n+n(1+t)^n.(2-t)^{n-1}}{t^{2n}}>0,\forall t\in (0;1]$ Suy ra hàm số $f(t)$ đồng biến trên R Lập bảng biến thiên ta tìm được $\max y=f(1)=2^n$ khi $\sin^2t=1\Leftrightarrow x=k\pi\pm \frac{\pi }{2}$ Hàm số không có GTNN

bài của bạn có rất nhiều vấn đề:
1. cái chỗ $y=\left ( \frac{1+\sin^2x}{\sin^2x} \right )^n+\left ( \frac{2-\sin^2x}{\sin^2x} \right )^n$
$\cos ^{2}x= 1-\sin ^{2}x$ mới đúng
từ đây dẫn ra những sai lầm tiếp theo
Đặt $\sin^2x=t$ với $t\in (0;1]$
phải là (0;1) mới đúng
do đó tới cái khúc cuối
$\max y=f(1)=2^n$ khi $\sin^2t=1$ là ko thể

xem thử bài mình tìm min nhá:
nhớ na ná có 1 bất đẳng thức thế này:
với $a\geq 0$ và $b\geq 0$, n thuộc N thì:
$(\frac{a+b}{2})^{n}\leq \frac{a^{n}+b^{n}}{2}$
hay: $a^{n}+b^{n}\geq \frac{1}{2^{n-1}}(a^{n}+b^{n})$
áp dụng vào thử xem:

$y= (\frac{1+\sin ^{2}x}{\sin ^{2}x})^{n}+(\frac{1+\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x})^{n}$
$\geq \frac{1}{2^{n-1}}(\frac{1+\sin ^{2}x}{\sin ^{2}x}+\frac{1+\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x})^{n}$
ta lại có:
$(\frac{1+\sin ^{2}x}{\sin ^{2}x}+\frac{1+\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x})^{n}$=$(\frac{1}{\sin ^{2}x}+\frac{1}{\cos^{2}x }+2)^{n}$
=$(\frac{1}{\sin ^{2}x\cos ^{2}x}+2)^{n}=(\frac{4}{\sin ^{2}2x}+2)^{n}$
$0< sin ^{2}2x\leq 1 => \frac{4}{sin ^{2}2x}+2\geq 6$
=> $(\frac{4}{\sin ^{2}2x}+2)^{n}\geq 6^{n}=>y\geq \frac{1}{2^{n-1}}.6^{n}$
$=> min y=\frac{1}{2^{n-1}}.6^{n}$ đạt được khi:
$\frac{1}{\sin ^{2}x}+1=\frac{1}{\cos ^{2}x}+1$ và $\sin ^{2}2x=1$
<=> $x=\frac{pi}{4}+kpi/2$, k thuộc Z

tham khảo và cho ý kiến nha các bạn!

Giải bài 2: ĐK:$sinx\neq 0$
Ta có: $3(\frac{cos2x}{sinx}+\frac{sin2x}{cosx})=m+3+mcot^{2}x$
$\Leftrightarrow 3(\frac{1-2sin^{2}x}{sinx}+\frac{2sinxcosx}{cosx})=m(1+\frac{cos^{2}x}{sin^{2}x})+3$
$\Leftrightarrow 3(\frac{1-2sin^{2}x}{sinx}+2sinx)=m\frac{sin^{2}x+cos^{2}x}{sin^{2}x}+3$
$\Leftrightarrow 3\frac{1-2sin^{2}x+2sin^{2}x}{sinx}=m\frac{1}{sin^{2}x}+3$
$\Leftrightarrow \frac{3}{sinx}=m\frac{1}{sin^{2}x}+3$ (1)
Đặt $a=\frac{1}{sinx}(a\neq 0)$
Thay vào (1) có:
3a = ma² + 3 $\Leftrightarrow ma^{2}-3a +3=0 (*)$
Vì $sinx\leq 1\Rightarrow a\geq 1$
Xét m = 0, PT (*) có nghiệm a = 1 $\Rightarrow sinx=1$ ™
Xét $m\neq 0$
để PT đã cho có nghiệm thì (*) phải có nghiệm thoả $a\geq 1$
Đặt t = a - 1 $\Rightarrow a=t+1$, Thay vào (*) có:
$m(t+1)^{2}-3(t+1)+3=0$
$\Leftrightarrow m(t^{2}+2t+1)-3t-3+3=0$
$\Leftrightarrow mt^{2}+(2m-3)t+m=0$ (**)
Bài toán trở thành tìm t để PT (**) có nghiệm ko âm
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & & & \\ \Delta \geq 0 & & & \\ P\geq 0 & & & \\ S\geq 0 & & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & & & & \\(2m-3)^{2}-4m^{2}\geq 0 & & & & \\ 1\geq 0 & & & & \\ 3-2m\geq m & & & & \\ & & & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & & & & \\ 9-12m\geq 0 & & & & \\ & & & & \\ 3\geq 3m & & & & \\ & & & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & & & & \\ m \leq 3/4 & & & & \\ & & & & \\ m\leq 1 & & & & \\ & & & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow m\leq \frac{3}{4}$
Vậy $m\leq \frac{3}{4}$ thoả mãn yêu cầu đề bài.

điều kiện thiếu rùi! $\sin x \neq 0, \cos x\neq 0$ , đưa về điều kiện của sin là $\sin x \neq 0$, -1, 1. do đó cái chỗ $\sin x\leq 1$ là ko đúng. điều kiện bạn thiếu nên dẫn đến kết quả ko chính xác
bài này m làm rùi, hỏi lại coi đúng ko thui..mấy dạng này nên xét theo tam thức bậc 2 rùi vẽ cái bảng biến thiên ra là ok.
pt (1) trên đó của bạn sẽ được viết lại là $-3\sin^{2}x + 3\sin x = m$
đặt $\sin x = t$, điều kiện t$\neq$ 0 và $-1< t< 1$
xét cái tam thức bậc 2 f(t) của vế trái đó rùi nhìn bảng biến thiên là ra rùi
đáp số là $-6< m\leq \frac{3}{4}$ và $m\neq 0$
tham khảo thử cách đó nhá

Xếp ngẫu nhiên 5 nam và 5 nữ ngồi quanh 1 bàn tròn (ko ghi số thứ tự). Tính xác suất nam và nữ ngồi xen kẽ...
( mình ra đáp án là 1/126, ko biết đúng ko...mọi ng giải chi tiết giùm nha)

Cho $x^2+2xy+7(x+y)+2y^2+10=0$.

Tìm min,max của biểu thức:$S=x+y+1$

làm thế này thử nhá
$x^{2}+2xy+7(x+y)+2y^{2}+10=0$
<=> $(x+y+1)^{2}+5(x+y+1)+y^{2}+4=0$
<=> $y^{2}= -S^{2}-5S-4$
$y^{2}\geq 0 => -S^{2}-5S-4\geq 0$
<=> $-4\leq S\leq -1$
min S=-4 ( khi y=0, x=4)
max S=-1 (khi y=0, x=1)

cách làm của tớ hơi bị dài dòng như thế này:
viết lại biểu thức P:
$P=\frac{1}{(1-z)(1-x)} + \frac{1}{(1-z)(1-x)}$
áp dụng cô si:
$\frac{1}{(1-z)(1-x)} + 4(1-z) + 2(1-x)\geq 6$
$\frac{1}{(1-y)(1-x)} + 4(1-y) + 2(1-x))\geq 6$
=> P + 12 - 4(x+y+z) $\geq$ 12
=>$P\geq 4$
dấu "=" xảy ra <=> x=0, y=z=0.5