NguyenTaiLongYoshi

Bài này dễ mà . Chuyển 5 tách thành $\sqrt{3x+1}-1+2(\sqrt[3]{19x+8}-2)=2x^2+x$ rồi nhân liên hợp ta tìm đc nghiệm $x=0$. Sau đó dùng cách đánh giá nghiệm ta được nghiệm $x=1$

1, a,Áp dụng BĐT AM-GM cho lần lượt các tổng ($a^{2},b^{4}$)$\left ( a^{2}+b^{4};b^{4}+c^8;c^{8}+a^{2} \right )$ suy ra điều phải cm.
b,Tương tự .
2, Có $\left ( a^{2}+\frac{b^{2}}{4} \right )+\left (\frac{3b^{2}}{4}+3 \right )+\left ( c^{2}+1 \right )\geq ab+3b+2c$
Suy ra $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+3b+2c-4$
Mà theo đề bài có :$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq ab+3b+2c-4$
Suy ra $(a,b,c)=(1;2;1)$
3,Sử dụng BĐT : $a_{1}+a_{2}+..+a_{n}\geq\frac{n^{2}}{\frac{1}{a_{1}}+...+\frac{1}{a_{n}}}$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=3$
4,Áp dụng BĐT AM-GM thông thường. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=4.

Cách khác k phải qui đồng :
BĐT$\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+c}\geq \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+c}$
$+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$
$\Leftrightarrow \frac{a+c}{b+c}+\frac{b+a}{c+a}+\frac{c+b}{a+b}\geq 3$
Đúng theo AM-GM

ĐÚng là bài này ko cho điều kiện $a,b,c>0$ thì không làm được nhỉ !

Ta có:
Bất đẳng thức tương đương với:
$\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+b} \geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{a^3+b^3+c^3-a^2b-b^2c-c^2a}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 0$
$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-a^2b-b^2c-c^2a \geq 0$
Áp dụng BĐT Cauchy ta có $a^3+a^3+b^3 \geq 3 a^2b$
Xây dựng các bất đẳng thức tương tự ta có điều phải chứng minh...

Thưa bạn ko cho $a,b,c>0$
_________________________
@BlackSelena: chú ý cách nói bạn ơi =="

Vậy thì chúc mừng bạn rồi.
Sao bạn lại khóc nhỉ

ĐIểm thấp hơn mong đợi chứ sao