Crystal

1. $ \left\{\begin{array}{l}2x^{2}+x- \dfrac{1}{y} =2\\y-xy^{2}-2y^{2}=-2\end{array}\right. $
2. $ \left\{\begin{array}{l}x^{2}-2x+2+y^{3}=0\\x^{2}y^{3}-2x+y=0\end{array}\right. $
3. $ \left\{\begin{array}{l}x^{3}-y^{3}=4x+2y\\x^{2}-1=3(1-y^{2})\end{array}\right. $

Bài 1:
Do y#0 nên chia cả 2 vế của pt thứ hai cho $y^2 $ ta được $\dfrac{1}{y} - x - 2 = - \dfrac{2}{{y^2 }}$
Từ pt thứ nhất suy ra $\dfrac{1}{y} - x - 2 = 2x^2 - 4$
Khi đó $2x^2 - 4 = - \dfrac{2}{{y^2 }} \Leftrightarrow x^2 y^2 - 2y^2 + 1 = 0\,\,(1)$
Giải pt (1) ta được nghiệm $x = y = \pm 1$

Một bài nữa nè các bạn!

BĐT $ \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\dfrac{1}{{\sqrt {ab} }}} \ge 9 \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\dfrac{2}{{1 - c}}} \ge 9 $
Giả sử $ a \ge b \ge c > 0 \Rightarrow c \in \left( {0;\dfrac{1}{3}} \right] $
Ta có: $ \begin{array}{l} \dfrac{2}{{1 - c}} + \dfrac{9}{2}c - \dfrac{9}{2} = \dfrac{{ - (3c - 5)(3c - 1)}}{{2(c - 1)}} \ge 0\,\,\forall c \in \left( {\left. {0;\dfrac{1}{3}} \right]} \right. \\ \Rightarrow \,\dfrac{2}{{1 - c}} \ge - \dfrac{9}{2}c + \dfrac{9}{2} \\ \end{array} $
Do đó: $ \sum\limits_{cyc} {\dfrac{1}{{\sqrt {ab} }}} \ge - \dfrac{9}{2}(a + b + c) + \dfrac{{27}}{2} = 9\, \Rightarrow dpcm $
Dấu ''='' xảy ra $ \Leftrightarrow \,a = b = c = \dfrac{1}{3} $

Giải hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}{l} x^4 + 2y^3 - x = - \dfrac{1}{4} + 3\sqrt 3 \\ y^4 + 2x^3 - y = - \dfrac{1}{4} - 3\sqrt 3 \\ \end{array} \right.$

Xin giới thiệu đến các bạn những hình ảnh tuyệt vời của Toán học. Những hình ảnh này là 1 minh chứng rõ ràng nhất cho việc khẳng định Toán học không phải là môn học khô khan, mà ngược lại nó chứa đựng những vẻ đẹp của cuộc sống.

Đây là đồ thị của những đường cong tham số, và đường cong trong tọa độ cực cũng như những đường cong trong không gian, chúng được tạo thành từ những đường cong quen thuộc khi chúng ta cho những giá trị của tham số thay đổi. Ví dụ như: đường lemniscarte: $r=2\sqrt{sin\left ( np \right )}\; ,\; \; r=2cos\left ( np \right )\; \; ,\; \; r=2tan\left ( np \right )$, đường Cardioid hay $\left\{\begin{matrix}
x\left ( t \right )=\left ( k+1 \right )sint+sin\left ( \left ( k+1 \right )t \right ) & \\ y\left ( t \right )=\left ( k+1 \right )cost+cos\left ( \left ( k+1 \right )t \right )
\end{matrix}\right.$

Ngôi sao Giáng sinh - Đồ thị hàm $r=2tan\left ( 3.28p \right )$

Hoa hướng dương - Đồ thị hàm $r=2tan\left ( 3.34p \right )$

Hình nơ 3 cánh - Đồ thị hàm $r=2cos\left ( 3.01p \right )$

Hình nơ đôi 3 cánh – Đồ thị hàm số $r=cos\left ( 2.99t \right )-\dfrac{sin^{2}\left ( 2.99t \right )}{\sqrt{2}}$

Số 8 may mắn – Đồ thị hàm $r=2\sqrt{sin\left ( 2.02p +3\dfrac{\pi }{5}\right )}$

Đồ thị hàm số $r=2cos\left ( 3.22p \right )$

Đồ thị hàm số $r=cos\left ( ep \right )$

Với phương trình trên, ta chỉ cần thay đổi một chút sẽ có những hình ảnh thú vị khác:

$$\left\{\begin{matrix}x\left ( t \right )=3.18cost+sin\left ( 3.18 \right )t\\
y\left ( t \right )=3.18sint+cos\left ( 3.18 \right )t\end{matrix}\right.$$

Gối mây - $\left\{\begin{matrix}x\left ( t \right )=3.18costcos\left ( 3.18 \right )t\\y\left ( t \right )=3.18sintsin\left ( 3.18 \right )t\end{matrix}\right.$

Tiếp theo là một số dạng đồ thị của đường cong:

$$\left\{\begin{matrix}x\left ( t \right )=\left ( 1-a \right )cos\left ( at \right )+absin\left ( \left ( 1-a \right )t \right )\\ y\left ( t \right )=\left ( 1-a \right )sin\left ( at \right )+abcos\left ( \left ( 1-a \right )t \right )\end{matrix}\right.$$

Ngôi sao 5 cánh . Đồ thị đã được quay 1 góc -0.3 rad

Phương trình đường cong: $\left\{\begin{matrix}x\left ( t \right )=3cos\left ( 0.4t \right )+2sin\left ( 0.6t \right ) & \\ y\left ( t \right )=3sin\left ( 0.4t \right )+2cos\left ( 0.6t \right )\end{matrix}\right.$

Mặt trời

Phương trình con bướm:

Đồ thị của hàm số $r=e^{sinp}-cos\left ( 4p \right )+sin\left ( \dfrac{2p-\pi }{36} \right )^{5}\; ,\; \; p=0.36\pi$

Có thể bạn sẽ nghĩ rằng làm sao mà vẽ được mặt người phải không? Có thể bạn sẽ phải suy nghĩ lại sau khi nhìn thấy đồ thị của hàm số $r=sin\left ( 2^{p} \right )-1.5p\in \left [ 0;2\pi \right ]$. Đây là đường cong trong tọa độ cực.