sieumatral

Cho: $x+y=2007$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:

       $P=x(x^{2}+y)+y(y^{2}+x)$

Cho a,b là các số nguyên dương thỏa $\frac{a+1}{a};\frac{b+1}{b}$ đều là số nguyên. Gọi d là ước của a và b. Chứng minh rằng: $d\leq \sqrt{a+b}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

      A=$\sqrt{-x^{2}+5x+24}-\sqrt{-x^{2}+6x+7}$

Cách của mình. Hơi dài 

   Áp dụng hằng đẳng thức:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)+3abc$

                      $= (a+b+c)((a+b+c)^{2}-3(ab+bc+ca))+3abc$

                            $= 27-9(ab+bc+ca)+3abc$

  Lại có: $0\leq a,b,c\leq 2$ => $(2-a)(2-b)(2-c)\geq 0 <=> 8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)-abc\geq 0$

                                    => $-2(ab+bc+ca)\leq -4-abc$

                                      $<=> -9(ab+bc+ca)+3abc\leq -18-\frac{3}{2}abc\leq -18$ do $abc\geq 0$

       Vậy: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 27-18=9$ (ĐPCM)

   Dấu "=" xảy ra <=> (a,b,c)=(0,1,2) hoặc các hoán vị của nó.

Cho 3 số a,b,c thỏa mãn:

      $0\leq a;b;c\leq 2$ và a+b+c=3

    Chứng minh rằng: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 9$

Cho x,y$> 0$. Tìm Giá trị nhỏ nhất của:

          $A=\frac{x+y}{\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}$

1) Tìm số tự nhiên n có tích các chữ số thoả mãn: n^2 -10n-12

2) Cho a,b là 2 số thực dương thoả:

   a¹⁰⁰ + b¹⁰⁰    = a¹⁰¹ + b¹⁰¹ = a¹⁰² + b¹⁰²

Tính giá trị của: P = a²⁰¹⁴ + b²⁰¹⁴ 

3) Cho x + y = a + b

           x² + y² = a² + b²

 Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, ta có:

         xⁿ + yⁿ = aⁿ + bⁿ 

4) Tìm số nguyên x, y thoả mãn:

      x² +2y² +2y=1 + 2xy +2x

5) Chứng minh rằng: x⁴ +64 là hợp số với mọi x thuộc N

6) Cho f(x)= ax² + bx + c. Tìm các số nguyên a,b,c biết:

        f(2009)=2015

        f(2005)=2010

7) Cho x,y,z thoả : xy + yz + zx=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

        A= 2x² +5y² +z² .

 Đây là một số bài toán của mình. Mong các bạn vào góp y cùng tiến bộ.

 

 

Mình mới học phần này nên có một số bài chưa làm được mong mọi người hướng dẫn:

1) $4^{log_{2}2x} -x^{log_{2}6} = 2.3^{log_{2}4x^{2}}$

2) $log_{7}x = log_{3}(\sqrt{x}+2)$

3)$2.log_{6}(\sqrt[4]{x}+\sqrt[8]{x}) = log_{4}(\sqrt{x})$

4)$3^{x}+2^{x}=3x+2$

Ta coi phương trình 2 là ẩn với x và y:

 - Với ẩn là x : $\Delta _{x}=y^{2}-4(y^{2}-y)=-3y^{2}+4y$

      Để phương trình có nghiệm thì $\Delta _{x}\geqslant 0<=>0\leqslant y\leqslant \frac{4}{3}$

 - Với ẩn là y: Viết lại phương trình: $y^{2}+y(x-1)+x^{2}=0$

            $\Delta _{y}=(x-1)^{2}-4x^{2}=-3x^{2}-2x+1$

      Để phương trình có nghiệm thì $\Delta _{y}\geq 0<=>-1\leq x\leq \frac{1}{3}$

Xét phương trình 1:

     Có $x^{3}+y^{2}\leq (\frac{1}{3})^{2}+(\frac{4}{3})^{2}< 2$

 Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

6.Cho hàm số :y=x³-3x²+3(1-m²)x+3m²+1. Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đi qua điểm H(2;5)

$y=x^{3}-3x^{2}+3(1-m^{2})x+3m^{2}+1$

TXĐ:$D=\mathbb{R}$

$y{}'=3x^{2}-6x+3(1-m^{2})$

Để hàm số có cực trị thì y' phải đổi dấu 2 lần

<=> phương trình y'=0 có 2 nghiệm phân biệt 

<=> $\Delta '>0$

<=>$(-3)^{2}-3*3(1-m^{2})>0$

<=> $m^{2}>0$

<=> $m\neq 0$  (*)

   Lấy y chia y' ta được: $y=(\frac{x}{3}-\frac{1}{3})y'-2m^{2}x+2m^{2}+2$.

      Giả sử tọa độ 2 cực trị của hàm số là $A(x_{1};y_{1})$ và$B(x_{2};y_{2})$ . Vì A và B là 2 điểm cực trị nên y' tại 2 điểm này bằng 0 nên phương tring đường thẳng qua 2 cực trị là:

                 $\triangle$:     $y=-2m^{2}x+2m^{2}+2$

     Điểm H(2;5) thuộc$\triangle$ nên ta có:$5=-4m^{2}+2m^{2}+2$ tìm được 2 giá trị của m so sánh đk (*) rồi kết luận.

Bài có gì sai sót bạn góp ý nha.

Ta biến đổi như sau:
$$\sqrt{3}tan^{2}x+2tanx=\sqrt{3}-4sinxtanx-4\sqrt{3}sinx$$
$$\iff (\sqrt{3}tan^{2}x+2tanx-\sqrt{3})+(4sinxtanx+4\sqrt{3}sinx)=0$$
$$\iff (\tan x+\sqrt{3})(\sqrt{3}\tan x-1)+4\sin x(\tan x+\sqrt{3})=0 $$
$$\iff (\tan x+\sqrt{3})(\sqrt{3}\tan x+4\sin x-1)=0$$
Trường hợp $\tan x+\sqrt{3}=0 \iff x=\frac{-\pi}{3}+k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$)
Trường hợp $\sqrt{3}\tan x+4\sin x-1=0$ thì đặt $t=\tan{\frac{x}{2}}$ ta có phương trình $t^4+(2\sqrt{3}-8)t^3+(2\sqrt{3}+8)t-1=0$ (đến đây thì ai có thể giúp mình giải tiếp không? )

Cái vế sau biến đổi bình thường thôi:
ĐK : $cosx\neq0 <=> x \neq \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$

<=>$\sqrt{3} sinx + 4sinx.cosx - cosx = 0$
Sau đó chia 2 vế cho 2 biến đổi 1 tí là ra phương trình cơ bản.

$cos3x + \sqrt{2-cos^{2}3x} = 2 (1+ sin^{2}2x)$

Mình xin góp 2 bài:
$11. cos(2x+\frac{2\pi}{3})+4cos(\frac{\pi }{6}-x)=\frac{5}{2}$
$12. 6sin^{2}x + 2cos^{2}x - 2\sqrt{3}sin2x=14sin(x-\frac{\pi }{6})-5$

Cho M(2;3). Viết ptdt lần lượt cắt trục Ox, Oy tại A và B sao cho tam giác MAB vuông cân tại A?