thoconlk

Bài 1
Đặt $\sqrt[3]{x}=a;\sqrt[3]{y}=b$
ta cần cm $\sqrt{a^{3}+{a^{2}b}}+\sqrt{b^{3}+{b^{2}a}}=(\sqrt{a+b})^{3}$
cái này dẽ cm được
Bài 2
1) Thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình chia cả hai cế của phương trình cho $x^{2}$ ta có
$x^{2}-5x+8-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0$ (*)
dặt $x+\frac{1}{x}=y$ phương trình (*) trở thành
$y^{2}-5y+6=0$
$\Leftrightarrow (y-2)(y-3)=0$
Nếu y=2 thì $x^{2}-2x+1=0\Leftrightarrow x=1$
Nếu y=3 thì $x^{2}-3x+1=0$
phương trình có tập nghiệm là $\left \{ \frac{3-\sqrt{5}}{2};1;\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right \}$
2)
Đặt xy=P; x+y=S
hệ trở thành $\left\{\begin{matrix} P-3S+y=3\\ S^{2}-2P-S-2y=38 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow S^{2}-2P-S-2y+2P+6S+2y=38+6$
$\Leftrightarrow S^{2}-7S-44=0$
$\Leftrightarrow (S-11)(S+4)=0$
Nếu x+y =11thay x=11-y ta có nghiệm (x;y)=(5;6)
Néu x+y =-4 CMTT (x;y)=$\left ( \frac{-5-4\sqrt{5}}{2} ;\frac{-3+4\sqrt{5}}{2}\right );\left ( \frac{-5+4\sqrt{5}}{2} ;\frac{-3-4\sqrt{5}}{2}\right )$

bạn ơi nghiệm ở phần x+y=-4 sai rồi

Bài 296: Cho $x\ge xy+1$ . Tìm GTLN của $P=\frac{3xy}{x^2+y^2}$
Đề thi tuyển sinh - Hải Phòng

Xét x,y trái dấu thì P<0
Xét 1 trong 2 số a,b bằng 0 thì P=0
Xét x,y cùng dấu và khác 0 từ giả thiết x$\geq$xy+1 suy ra x,y dương.
Có P=$\frac{3xy}{x^{2}+y^{2}}= \frac{3}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}$.
Xét $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}= \frac{x}{16y}+\frac{y}{x}+\frac{15x}{16y}\geq \frac{1}{2}+\frac{15x}{16y}$ (theo bđt Côsi)
Có x$\geq xy+1$ $\Rightarrow$y+$\frac{1}{x}\leq 1$ $\Rightarrow$y$\leq 1-\frac{1}{x}$
Vì x,y dương, x$\geq xy+1$ nên x>1 suy ra x-$\frac{1}{x}> 0$.
Suy ra $\frac{15x}{16y}\geq \frac{15x}{16(1-\frac{1}{x})}\geq \frac{15}{4}$ Suy ra $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq \frac{1}{2}+\frac{15}{4}=\frac{17}{4}$ Suy ra P$\geq \frac{12}{17}$ dấu đẳng thức xảy ra khi x=2; y=$\frac{1}{2}$.
Từ 3 TH rut ra kết luận Max P= $\frac{12}{17}$ khi x=2, y=$\frac{1}{2}$

Bài 374: Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng:
$\frac{a^{3}}{b^{2}+c}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b}\geqslant \frac{3}{2}$

Giải Bài 374 vậy: x²-y²+t²=21 (1) và x²+3y²+4z²=101(2). Cộng từng vế (1) và (2) ta được:2x² +2y² +t² +4z² =122(3)
Vì x,y,z,t là các số nguyên nên từ (3) suy ra t² $\vdots$2. Mà t² là số chính phương nên t² $\vdots$4.
Đặt t² =4k²(với k$\in$Z,k$\geqslant 0$) thì phương trình (3) trở thành: 2x² +2y² +4k² +4z² =122 $\Leftrightarrow$ x² +y² +2z² +2k² =61$\Leftrightarrow$ x² +y² +2z² +4k² = 61+2k² hay M =61 +2k² $\geqslant$61.
Dấu bằng xảy ra khi t=0, x=5,y=2,z=4.
Vậy Min M=61 khi (x,y,z,t)=(5,2,4,0)

a) Ta có
$ MC.MD=ME.MO=AM^2 \Rightarrow OECD nt $
b)
$2\widehat{CBD}=\widehat{DOC}=\widehat{DEC}$
c)
$\bigtriangleup OEK \sim \bigtriangleup OIM$
$\Rightarrow OI.OK=OE.OM=OA^2=R^2$
$ OI+OK \ge 2\sqrt{OI.OK}=2\sqrt{R^2}=2R$
-----------------------------------------------------


a)$\widehat{FAB}=\widehat{FEB}=90^{\circ}$
b) OM là đường trung bình của tam giac ABD => OM//BD
Tam giác MBF có O là trực tâm => OM vuông BF
Vậy $DB \perp FB$
c)F nằm trên đường trung trực của BC nên BF=BC
$BC^2=BF^2=BA.BD$
$\Rightarrow \bigtriangleup FAC \sim \bigtriangleup FCD \Rightarrow \widehat{FCA}=\widehat{FDC}$
=> FC là tiếp tuyến (ACD).
d) Anh tolaphuy10a1lhp có thể nói cụ thể hơn các góc được không nhìu góc quá
Mình chứng minh được như sau
Vì sin của 1 góc luôn nhỏ hơn 1 nên
$sin^{2}M +sin^{2}B+sin^{2}F< 3$

lớn hơn 2 thì làm thế nào