peach

lấy E đối xúng với M qua AB, F đỗi xứng với M qua AC => AE =AF=AM=> $\bigtriangleup AEF$ cân tại A
và PE = PM. NF =NM
$\Rightarrow$ PN + PM + MN = EP + PN + NF $\geq$ EF
$\bigtriangleup AEF$ cân tại A có $\widehat{EAF}$ = 2$\widehat{BAC}$ không đổi
$\Rightarrow$ EF nhỏ nhát $\Leftrightarrow$ AE nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ AM nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ M là chân đường cao kẻ từ A
và P,N là giao của ME, MF với AB,AC

kẻ đường kính AI của (AMN) => $\widehat{AMN} = \widehat{AIM}$
$\bigtriangleup AIN$ vuông tại N => AI = $\frac{AN}{sin\widehat{AIN}}$
=>điều phải cm

câu a, gọi R₁ là bán kính (ANM), R₂ là bán kính (BMN)
$\Rightarrow R_{1}=\frac{AN}{2sin\widehat{AMK}}$
$\Rightarrow R_{2}=\frac{BN}{2sin\widehat{BMK}}$
$\Rightarrow R_{1}+R_{2}=\frac{AB}{2sin\widehat{BMK}}$ không đổi
$\Rightarrow đpcm$

M là trung điểm của BC => OM vuông góc với BC => OMFC nội tiếp
=> $\widehat{CMF} = \widehat{COF} \Rightarrow \widehat{MDF}+ \widehat{MFD} = 2\widehat{OAC}$
mà ADFC nội tiếp => $\widehat{CDF} = \widehat{CAF} \Rightarrow \bigtriangleup MDF$ cân
chứng minh tương tự MDF cân
=>M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF

$\frac{a^{2}}{a+bc}=\frac{a^{3}}{a^{2}+abc}=\frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}$
lại có
$\frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)} + \frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\geq \frac{3a}{4}$
chứng minh tương tự
$\frac{b^{2}}{b+ac}+\frac{b+a}{8}+\frac{b+c}{8}\geq \frac{3b}{4}$
$\frac{c^{2}}{c+ab}+\frac{c+a}{8}+\frac{b+c}{8}\geq \frac{3c}{4}$
=>điều phải chứng minh