Đến nội dung

peach

peach

Đăng ký: 26-05-2012
Offline Đăng nhập: 04-05-2014 - 17:51
-----

#429515 Chứng minh HK song song với OO'

Gửi bởi peach trong 21-06-2013 - 15:27

Cho (O) và (O') giao nhau tại M và N. AB và CD là tiếp tuyến chung của (O) và (O') trong đó A, C thuộc (O), B,D thuộc (O'). Gọi H,K lần lượt là trực tâm của 2 tam giác ABM và CDM. Chứng minh HK //OO'.




#321890 Tìm vị trí của $M,N,P$ để chu vi tam giác $MNP$ nhỏ nhất

Gửi bởi peach trong 02-06-2012 - 22:13

lấy E đối xúng với M qua AB, F đỗi xứng với M qua AC => AE =AF=AM=> $\bigtriangleup AEF$ cân tại A
và PE = PM. NF =NM
$\Rightarrow$ PN + PM + MN = EP + PN + NF $\geq$ EF
$\bigtriangleup AEF$ cân tại A có $\widehat{EAF}$ = 2$\widehat{BAC}$ không đổi
$\Rightarrow$ EF nhỏ nhát $\Leftrightarrow$ AE nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ AM nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ M là chân đường cao kẻ từ A
và P,N là giao của ME, MF với AB,AC


#321880 Chưng ming tổng 2 bán kính đường tròn (ANM),(BNM) không đổi

Gửi bởi peach trong 02-06-2012 - 21:34

câu a, gọi R1 là bán kính (ANM), R2 là bán kính (BMN)
$\Rightarrow R_{1}=\frac{AN}{2sin\widehat{AMK}}$
$\Rightarrow R_{2}=\frac{BN}{2sin\widehat{BMK}}$
$\Rightarrow R_{1}+R_{2}=\frac{AB}{2sin\widehat{BMK}}$ không đổi
$\Rightarrow đpcm$


#321877 Chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFD

Gửi bởi peach trong 02-06-2012 - 21:23

M là trung điểm của BC => OM vuông góc với BC => OMFC nội tiếp
=> $\widehat{CMF} = \widehat{COF} \Rightarrow \widehat{MDF}+ \widehat{MFD} = 2\widehat{OAC}$
mà ADFC nội tiếp => $\widehat{CDF} = \widehat{CAF} \Rightarrow \bigtriangleup MDF$ cân
chứng minh tương tự MDF cân
=>M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF


#321068 Chứng minh rằng: $$\frac{a^{2}}{a+bc}+\frac{b^{2}}{b+ac}+...

Gửi bởi peach trong 30-05-2012 - 22:34

$\frac{a^{2}}{a+bc}=\frac{a^{3}}{a^{2}+abc}=\frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}$
lại có
$\frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)} + \frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\geq \frac{3a}{4}$
chứng minh tương tự
$\frac{b^{2}}{b+ac}+\frac{b+a}{8}+\frac{b+c}{8}\geq \frac{3b}{4}$
$\frac{c^{2}}{c+ab}+\frac{c+a}{8}+\frac{b+c}{8}\geq \frac{3c}{4}$
=>điều phải chứng minh


#321055 Chứng minh rằng $$\frac{a}{b^{2}+1} + \frac{b}{c^{2}+1} +...

Gửi bởi peach trong 30-05-2012 - 22:08

có $\frac{a}{1+b^{2}} = a - \frac{ab^{2}}{1+b^{2}} \geq a - \frac{ab^{2}}{2b} \geq a-\frac{b}{2}$
chứng minh tương tự
$\frac{b}{1+c^{2}} \geq b-\frac{c}{2}$
$\frac{c}{1+a^{2}} \geq c-\frac{a}{2}$
=>$\frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}} \geq \frac{a+b+c}{2}= \frac{3}{2}$
dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1