rongthan

cho a,b,c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=1. CMR $\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}+2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$

 

Trước hết ta có:

$P= \sum \dfrac{a}{b^2+c^2+2}= \sum \dfrac{a}{(b+c)(2a+b+c)} $

ta cần chứng minh BDT:

$\sum \dfrac{a}{(b+c)(2a+b+c)} \ge \dfrac{3\sqrt{3(ab+bc+ca)}}{8}$

Dễ dàng nhận thấy đây là 1 BDT đồng bậc. Do vậy ta chuẩn hoá: $a+b+c=1$

Và ta sẽ chứng minh BDT mạnh hơn 1 chút:

$\sum \dfrac{a}{(b+c)(2a+b+c)} \ge \dfrac{3}{8}$

Xét:

$\sum \dfrac{a}{(b+c)(2a+b+c)} -a = \dfrac{a}{1-a^2}-a = \dfrac{a^3}{1-a^2}= \dfrac{a^3}{(b+c)(2a+b+c)}$

Mà: $ \left[ \sum \dfrac{a^3}{(b+c)(2a+b+c)} \right]. \left[ \sum \dfrac{a(2a+b+c)}{b+c} \right] \ge \left[ \sum \dfrac{a^2}{b+c} \right] ^2$

Đến đây đặt: $t= \sum \dfrac{a^2}{b+c} \ge \dfrac{a+c+b}{2} \ge \dfrac{\sqrt{3(ab+bc+ca)}}{2}$

Thì: $VT \ge \dfrac{t^2}{2t+1}$

Hàm này đồng biến trên $\left[ \dfrac{\sqrt{3}}{2}; + \infty \right]$

nên ta có đpcm.

Dấu đẳng thức khi $a=b=c= \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

1/ $2013!$ tận cùng bằng bao nhiêu chữ số $0$
2/ Tim số $n$ sao cho $n!$ tận cùng bằng $500$ chữ số 0
3/Tồn tại hay không số $n$ sao cho $n!$ tận cùng bằng $3111996$ chữ số 0

1/$501$
2/$ n \in [2005;2009]$
3/$ n \in [12448000;12448004]$

Bạn ơi, bạn có thế làm rõ hơn cái phần "thay vào (2) ta có: ..." ko - mình còn kẹt chút ở phần đó, cụ thể là thay cái ở trên vào (2) thế nào và biến đổi ra sao

ý mình là thay điều kiện ở trên vào biểu thức $(2)$
$0=2x^3+3x^2+6y-12x+13 \geq2x^3+3x^2-12x+7$ ( vì $y \geq -1$)

Bđt mạnh hơn sau có đúng không?
\[
\sum {\frac{1}{{x\left( {y + z} \right)}}} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{x + y + z}},\left( 1 \right)
\]

cái này có đk gì không vậy?