Đến nội dung


caybutbixanh

Đăng ký: 01-06-2012
Offline Đăng nhập: 23-11-2017 - 23:31
http://diendantoanhoc.net/topic/159006-pfrac6x36y3-xyxyx2xyy2fracz3x2xzz2fracz3y2yzz2frac127xyz/.....giúp mình bài này với Đã cập nhật 29 May · 0 bình luận
****-

Giới thiệu

$\frac{caybutbixanh}{02-02-1998}$

 

 

 

 BÀI 1 :Cho $x,y,z\in (0,1)$ thoã điều kiện xy+yz+zx=1

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: $P=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}$

Lời Giải :

 

 

Ta biết rằng nếu hai đò thị y=f(x) và y=g(x) tiếp xúc nhau tại x$_{o}$ thì tồn tại một khoảng $(\alpha ;\beta )$ chứa x$_{o}$ .sao cho trên khoảng đó, đò thị này nằm dưới đồ thị kia, tức là

                  $f(x)\geq g(x),\forall x\varepsilon (\alpha ;\beta )$

         hoăc    $f(x)\leq g(x),\forall x\varepsilon (\alpha ;\beta )$

Sử dụng tính chất này , ta có thể chứng minh một số bất đẳng thức dạng như sau :

Cho các số thực $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}\varepsilon D$ thoả mãn

$g(a_{1})+g(a_{2})+...+g(a_{n})\geq (\leq )ng(m)$, Với m$\varepsilon D$.Chứng minh rằng:

          $f(a_{1})+f(a_{2})+...+f(a_{n})\geq (\leq )nf(m)$

Để giải bài toán này , ta cần tìm các số thực a ,b sao cho đồ thị hàm số y=f(x) tiếp xúc với đò thị hàm số y=ag(x)+b tại x$_{o}$=m

Tức là hệ phương trình:

$\begin{cases} & \text{ } f(x)=ag(x)+b \\ & \text{ } f^{'}(x)=ag^{'}(x) \end{cases}$ có một nghiệm x$_{o}$=m.

Dựa vào điều này ta tìm được a,b.Sau đó chứng minh đò thị này nằm dưới hoặc nằm trên đồ thị kia khoảng $(\alpha ;\beta )$ nào đó có thể

Đôi khi, ta chỉ cần đồ thị hàm số y=f(x) nằm dưới (hhoặ nằm trên) đồ thị hàm số y=ag(x)+b trên khoảng $(\alpha ;\beta )$ (haặc đoạn $[\alpha ;\beta ]$) cần thiết, mà không cần tiếp xúc.

+)Quay lại vơí bài toán

Ta dự đoán dấu '=' xẩy ra tại tâm ta sẽ tìm a,b sao cho f(x)=$\frac{x}{1-x^{2}}\geq ax^{2}+b=g(x)$

Hại đồ thị này tiếp xúc nhau tại $x_{o}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ khi

    $\begin{cases} & \text{ } \frac{x}{1-x^{2}}=ax^{2}+b \\ & \text{ } \frac{x^{2}+1}{(1-x^{2})^{2}}=2ax \end{cases}$ (Khi x=$\frac{1}{\sqrt{3}})$

Giải hệ này ta tìm được a=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,b=0

 

 

Vậy ta cần phải chứng minh 

     $\sum \frac{x}{1-x^2}\geqslant \sum \frac{3x^2\sqrt{3}}{2}\geqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}(xy+yz+zx)=\frac{3\sqrt{3}}{2} $

 

BÀI 2Cho $a,b,c$ là các số không âm thoả $a+b+c =6$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$$P=(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(a^{2}+c^{2})$$

Lời Giải :

 

Giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \}$. Khi đó ta có các đánh giá $b^{2}+c^{2}\leq \left ( b+\frac{c}{2} \right )^{2}$,$a^{2}+c^{2}\leq \left ( a+\frac{c}{2} \right )^{2}$ và $a^{2}+b^{2}\leq \left ( a+\frac{c}{2} \right )^{2}+\left ( b+\frac{c}{2} \right )^{2}$
Khi đó 
$$\Rightarrow P\leq \left [ \left ( a+\frac{c}{2} \right )^{2}+\left ( b+\frac{c}{2} \right )^{2} \right ]\left ( a+\frac{c}{2} \right )^{2}\left ( b+\frac{c}{2} \right )^{2}$$
Đặt $x=a+\frac{c}{2};y=b+\frac{c}{2}\Rightarrow x+y=6$. 
$$P=x^{2}y^{2}\left ( x^{2}+y^{2} \right )$$
$$=\frac{1}{2}.xy.2xy.(x^{2}+y^{2})\leq \frac{1}{2}.\frac{(x+y)^{2}}{4}.\frac{\left ( x+y \right )^{4}}{4}=\frac{6^{6}}{2^{5}}=1458$$
KL $P_{max}=1458 $. Đẳng thức xảy ra khi trong 3 số $(a,b,c)$ có một số bằng $0$, hai số còn lại bằng $3$

 

 

------------------------------+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-------------------

Bài 3:

phương trình $x+2y+3z=2013$ có bao nhiêu nghiệm nguyên dương

 

Gọi số nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là $k$.

Đặt $x'=x-1$ ; $y'=y-1$ ; $z'=z-1$

$\Rightarrow k$ cũng là số nghiệm tự nhiên của pt $x'+2y'+3z'=2007$ (1) ($x',y',z'\in \mathbb{N}$)

Lại đặt $m=x'+y'+z'$ ; $n=y'+z'$ ; $p=z'$

$\Rightarrow k$ là số nghiệm tự nhiên của pt $m+n+p=2007$ thỏa mãn điều kiện $m\geqslant n\geqslant p$

Xét pt $m+n+p=2007$ (2)

Nếu chưa xét đến điều kiện $m\geqslant n\geqslant p$ thì pt này có tất cả $C_{2009}^{2}$ nghiệm tự nhiên, trong đó :

+ Có đúng $1$ nghiệm thỏa mãn $m=n=p$

+ Có đúng $1003.C_{3}^{1}=3009$ nghiệm mà trong $3$ số $m,n,p$ có đúng $2$ số bằng nhau.

+ Có $C_{2009}^{2}-1-3009=2014026$ nghiệm mà trong đó $m,n,p$ khác nhau từng đôi một (suy ra có $\frac{2014026}{3!}=335671$ cách chọn $m,n,p$ sao cho $m> n> p$)

Nếu tính đến điều kiện $m\geqslant n\geqslant p$ thì số nghiệm tự nhiên của pt (2) là : $1+1003+335671=336675$

Vậy số nghiệm nguyên dương của pt đã cho là $k=336675$

 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hỏi :trong phép tính vi phân dy=df(xo)=f'(xo)dx  thì dx có nghĩa là gì? Ví dụ dy=3dx thì dx có nghĩa gì? 

 

Trả lời :Theo định nghĩa vi phân :

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $(a;b)$, có đạo hàm tại $x_{0}\in(a;b)$ và một số gia $\Delta x$ nào đó.

Tích $f'(x_{0}).\Delta x$ được gọi là vi phân của hàm $f(x)$ tại $x_{0}$ ứng với số gia đã cho, và ký hiệu là $dy$ (hay $df(x_{0})$)

Ví dụ : $y=f(x)=x^2+3$ $\Rightarrow dy=d(x^2+3)=(x^2+3)'\Delta x=2x\Delta x$

Trường hợp đặc biệt $y=x$ $\Rightarrow dy=d(x)=dx=(x)'\Delta x=1.\Delta x=\Delta x$

Như vậy $d(x^2+3)$ ở trên có thể viết là $2xdx$

Chú ý :

$\Delta x$ là số gia của biến số $x$, và cũng là vi phân của hàm số $y=x$, vì ta có $dx=\Delta x$ (hai cái này đồng nhất với nhau, nhưng cách viết $dx$ thông dụng hơn)

$\Delta y$ là số gia của hàm số ; $dy$ là vi phân của hàm.Hai cái này nói chung là khác nhau (trừ trường hợp $y=f(x)$ là hàm hằng hoặc hàm bậc nhất)

Cũng từ cách viết $dy=df(x)=f'(x)dx$ mà đạo hàm hàm số $y=f(x)$ còn có cách viết khác là $\frac{d(f(x))}{dx}$ hay $\frac{dy}{dx}$

Còn trường hợp $y=3x-5\Rightarrow dy=d(3x-5)=3dx$.Điều này có nghĩa là vi phân hàm $y=3x-5$ (tại bất cứ điểm nào và ứng với số gia nào đó) gấp $3$ lần số gia đó, hoặc gấp $3$ lần vi phân hàm $y=x$ (tại bất cứ điểm nào và ứng với số gia nói trên).

 

Bài viết hay :Ứng dụng của bất đẳng thức dạng đạo hàm


Thống kê


  • Nhóm: Thành viên
  • Bài viết: 879
  • Lượt xem: 9338
  • Danh hiệu: Trung úy
  • Tuổi: 19 tuổi
  • Ngày sinh: Tháng hai 2, 1998
  • Giới tính
    Bí mật Không khai báo

Thông tin liên lạc


633 Xuất sắc

Công cụ người dùng

Lần ghé thăm cuối