Theo đề ta có ab+1 $\vdots$ c;bc+1 $\vdots$ a;ca+1 $\vdots$ b
$\Rightarrow$ đặt M=$\frac{(ab+1)(bc+1)(ca+1)}{abc}$ ta có M $\epsilon$ N
Phá ngoặc ta được M=abc+a+b+c+($\frac{1}{abc}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}$).
Do M $\epsilon$ N $\Rightarrow$ đặt P=$\frac{1}{abc}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}$ ta có P $\epsilon$ N
Từ <1> ta có $\frac{1}{abc}<\frac{1}{c}<\frac{1}{b}<\frac{1}{a}$ $\Rightarrow$ P<$\frac{4}{a}$ $\leq$ $\frac{4}{2}$=2 <2>
$\Rightarrow$ P=1 <3>. Mà theo <2> có P<$\frac{4}{a}$ $\Rightarrow$ a<4 <3>. Kết hợp với <1> có a $\epsilon$ {2;3}
Xét a=2 ta được $\frac{1}{2bc}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{2}$=1 $\Rightarrow$ $\frac{1}{2bc}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$
Lại chặn như ở <3> ta có $\frac{3}{b}$>$\frac{1}{2}$ $\Rightarrow$ b<6 $\Rightarrow$ b $\epsilon$ {3;4;5} (do b>a)
Xét b=3 thế vào được c=7;xét b=4 thế vào được c=4,5(loại),xét b=5 được c=$\frac{11}{3}$(loại)
Xét a=3 ta được b $\geq$ 4, c $\geq$ 5,abc $\geq$ 3*4*5=60 $\Rightarrow$ P $\leq$ $\frac{1}{60}+\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}$ <1
( mâu thuẫn với <3>,loại)
Như vậy bộ 3 số tự nhiên đó là {2;3;7} và các hoán vị.
- perfectstrong yêu thích