Cho $a,b,c\geq 0, a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất:
$\sum \frac{(3a+1)^{2}}{6a^{2}-2a+1}$
Do tính đối xứng của đẳng thức, ta giả sử: $a\geq b\geq c$
Ta có :
$P=\sum \frac{\left ( 3a+1 \right )^{2}}{6a^{2}-2a+1}\geq ^{C-S}\frac{\left ( 3a+1 \right )^{2}}{6a^{2}-2a+1}+\frac{\left [ 3\left ( b+c \right )+2 \right ]^{2}}{6\left ( b^{2}+c^{2} \right )-2\left ( b+c \right )+2 }$
$\geq \frac{\left ( 3a+1 \right )^{2}}{6a^{2}-2a+1}+\frac{\left ( 5-3a \right )^{2}}{6\left ( 1-a \right )^{2}-2\left ( 1-a \right )+2}=\frac{\left ( 3a+1 \right )^{2}}{6a^{2}-2a+1}+\frac{\left ( 5-3a \right )^{2}}{6a^{2}-10a+6}=Q$
Đến đây, ta dự đoán Min P đạt được khi $a=1$ , Nên ta cần chỉ ra được
$Q\geq \frac{26}{5}\Leftrightarrow \left [ \frac{\left ( 3a+1 \right )^{2}}{6a^{2}-2a+1} -\frac{16}{5}\right ]+\left [ \frac{\left ( 5-3a \right )^{2}}{6a^{2}-10a+6}-2 \right ]\geq 0$
Với $a\left [ \frac{1}{3};1 \right ]$.
Thật vậy, ta cớ bđt tương đương là:
$\left ( 1-a \right )\left [ \frac{51a-11}{5\left ( 6a^{2}-2a+1 \right )}+\frac{3a+13}{6a^{2}-10a+6} \right ]\geq 0$
luôn đúng.....$\square \square \blacksquare$