kvthanh
Tìm kiếm
Nam
Dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của một phương trình
14-06-2012 - 11:39
Bài viết này mathblog.org giới thiệu về một dạng toán hay gặp trong các kỳ thi đại học: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị. Thông thường, với các dạng bài tập này, ta cần cô lập tham số sang một vế của phương trình, tức là đưa PT về dạng $ f(x)=A(m)$. Khi đó nghiệm của PT trên chính là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $ y=f(x)$ với đường thẳng $ y=A(m)$, ở đây $ A(m)$ là biểu thức chứa tham số $ m$. Trước khi đưa ra một số ví dụ, ta nhắc lại một số kết quả cơ bản về phép biến đổi đồ thị. Giả sử hàm số $ y=f(x)$ có đồ thị $ ©$. Từ đồ thị $ ©$ ta có thể suy ra đồ thị của một số hàm số sau:
1) Hàm số $ y=-f(x)$ có đồ thị là $ (C_1)$.
$ (C_1)$ được suy ra từ $ ©$ như sau: Lấy đối xứng đồ thị $ ©$ qua trục hoành.
2) Hàm số $ y=|f(x)|$ có đồ thị là $ (C_2)$.
$ (C_2)$ được suy ra từ $ ©$ như sau: Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành, lấy đối xứng phần dưới trục hoành của $ ©$ qua trục hoành.
3) Hàm số $ y=f(|x|)$ có đồ thị là $ (C_3)$.
$ (C_3)$ được suy ra từ $ ©$ như sau: Giữ nguyên phần nằm bên phải trục tung, lấy đối xứng phần bên phải này qua trục tung.
4) Hàm số $ y=|f(|x|)|$ có đồ thị là $ (C_4)$.
$ (C_4)$ được suy ra từ $ ©$ như sau: Thực hiện hai bước, lần lượt lấy $ (C_3)$ rồi $ (C_2)$.
5) Hàm số $ y=|u(x)|v(x)$ hoặc $ y=\frac{u(x)}{|v(x)|}$ có đồ thị là $ (C_5)$.
$ (C_5)$ được suy ra từ đồ thị $ y=u(x)v(x)$ như sau: Giữ nguyên phần đồ thị của
$ y=u(x)v(x)$ trong miền $ u(x)>0$ (hoặc tương ứng, $ v(x)>0$) và lấy đối xứng phần còn lại qua trục hoành.
- Đồ thị hàm số $ y=-(x^3-3x^2+2)$
- Đồ thị hàm số $ y=|x^3-3x^2+2|$
- Đồ thị hàm số $ y=|x|^3-3x^2+2$
- Đồ thị hàm số $ y=||x|^3-3x^2+2|$
- Đồ thị hàm số $ y=|x-1|(x^2-2x^2-2)$
2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm thực phân biệt $ 2|x|^3-9x^2+12|x|=m$. (1)
Đồ thị
2.
Đồ thị hàm số $ y=2|x|^3-9x^2+12|x|-4$ có dạng
Phương trình (1) $ \Leftrightarrow 2|x|^3-9x^2+12|x|-4=m-4$.
Số nghiệm của PT (1) bằng với số giao điểm của đồ thị hàm số $ y=2|x|^3-9x^2+12|x|-4$ và đường thẳng $ y=m-1$. Từ đồ thị, suy ra PT (1) có 6 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $ 0<m-4<1\Leftrightarrow 4<m<5$.
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $ y=x^3-3x^2+2$.
Biện luận theo k số nghiệm của phương trình $ x^2-2x-2=\frac{k}{|x-1|}$.
Nguồn: http://mathblog.org
1) Hàm số $ y=-f(x)$ có đồ thị là $ (C_1)$.
$ (C_1)$ được suy ra từ $ ©$ như sau: Lấy đối xứng đồ thị $ ©$ qua trục hoành.
2) Hàm số $ y=|f(x)|$ có đồ thị là $ (C_2)$.
$ (C_2)$ được suy ra từ $ ©$ như sau: Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành, lấy đối xứng phần dưới trục hoành của $ ©$ qua trục hoành.
3) Hàm số $ y=f(|x|)$ có đồ thị là $ (C_3)$.
$ (C_3)$ được suy ra từ $ ©$ như sau: Giữ nguyên phần nằm bên phải trục tung, lấy đối xứng phần bên phải này qua trục tung.
4) Hàm số $ y=|f(|x|)|$ có đồ thị là $ (C_4)$.
$ (C_4)$ được suy ra từ $ ©$ như sau: Thực hiện hai bước, lần lượt lấy $ (C_3)$ rồi $ (C_2)$.
5) Hàm số $ y=|u(x)|v(x)$ hoặc $ y=\frac{u(x)}{|v(x)|}$ có đồ thị là $ (C_5)$.
$ (C_5)$ được suy ra từ đồ thị $ y=u(x)v(x)$ như sau: Giữ nguyên phần đồ thị của
$ y=u(x)v(x)$ trong miền $ u(x)>0$ (hoặc tương ứng, $ v(x)>0$) và lấy đối xứng phần còn lại qua trục hoành.
Ví dụ 1.
- Đồ thị hàm số $ y=-(x^3-3x^2+2)$
- Đồ thị hàm số $ y=|x^3-3x^2+2|$
- Đồ thị hàm số $ y=|x|^3-3x^2+2$
- Đồ thị hàm số $ y=||x|^3-3x^2+2|$
- Đồ thị hàm số $ y=|x-1|(x^2-2x^2-2)$
Ví dụ 2. (A06).
2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm thực phân biệt $ 2|x|^3-9x^2+12|x|=m$. (1)
Hướng dẫn.
Đồ thị
2.Đồ thị hàm số $ y=2|x|^3-9x^2+12|x|-4$ có dạng
Phương trình (1) $ \Leftrightarrow 2|x|^3-9x^2+12|x|-4=m-4$.Số nghiệm của PT (1) bằng với số giao điểm của đồ thị hàm số $ y=2|x|^3-9x^2+12|x|-4$ và đường thẳng $ y=m-1$. Từ đồ thị, suy ra PT (1) có 6 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $ 0<m-4<1\Leftrightarrow 4<m<5$.
Các bài tập đề nghị:
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $ y=x^3-3x^2+2$.
Biện luận theo k số nghiệm của phương trình $ x^2-2x-2=\frac{k}{|x-1|}$.
Nguồn: http://mathblog.org
Bài toán cực trị hình học: Tìm điểm $M$ trên $d$ sao cho $MA+M...
14-06-2012 - 11:29
Bài toán 1:
Cho hai điểm $ A(1;1;0),B(3;-1;4)$ và đường thẳng
$ d:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+2}{2}$
Tìm điểm $M$ trên $d$ sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất.
Hướng dẫn.
Đây là một trong số các bài toán cực trị hình học thuộc chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian mà mathblog.org sẽ lần lượt giới thiệu.
Trước khi giải chi tiết Bài toán 1, chúng ta xét bài toán tổng quát: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A,B và đường thẳng d. Tìm điểm M trên d sao cho MA+MB nhỏ nhất.
Để giải Bài toán tổng quát trên, ta xét các trường hợp sau:
TH1: Đường thẳng AB và d đồng phẳng.
Trong TH1 lại xét hai khả năng:
KN1: A,B nằm khác phía đối với d.
Khi đó $ MA+MB\geq AB$ nên $ MA+MB$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $ M,A,B$ thẳng hàng. Suy ra $ M=AB\cap d$.
KN2: A,B nằm về cùng phía đối với d.
Khi đó gọi A' là điểm đối xứng với A qua d. Ta có $ MA+MB=MA'+MB\geq A'B$. Do đó MA+MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M,A',B thẳng hàng. Suy ra $ M=A'B\cap d$.
TH2. Đường thẳng AB và d không đồng phẳng.
Ta sẽ tiến hành giải Bài toán 2 luôn vì nó rơi vào TH này, sau đó sẽ rút ra phương pháp chung.
Giả sử $ M\in d\Rightarrow M(-1+t;1-t;-2+2t)$.
$ MA=\sqrt{(t-2)^2+(-t)^2+(2t-2)^2}=\sqrt{6t^2-12t+8}$
$ MB=\sqrt{6t^2-36t+56}$
Bài toán trở thành tìm GTNN của hàm số
$ f(t)=\sqrt{6t^2-12t+8}+\sqrt{6t^2-36t+56}$
Ta viết $ f(t)=\sqrt{(\sqrt{6}t-\sqrt{6})^2+2}+\sqrt{(\sqrt{6}t-3\sqrt{6})^2+2}$
Đặt $ \overrightarrow{u}=(\sqrt{6}t-\sqrt{6};\sqrt{2})$
$ \overrightarrow{v}=(-\sqrt{6}t+3\sqrt{6};\sqrt{2})$
Khi đó ta có $ f(t)=|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{v}|\geq |\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|$
Suy ra $ f(t)\geq \sqrt{(2\sqrt{6})^2+(2\sqrt{2})^2}=4\sqrt{2}$
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai vecto $ \overrightarrow{u}$ và $ \overrightarrow{v}$ cùng hướng hay $ \dfrac{\sqrt{6}t-\sqrt{6}}{-\sqrt{6}t+3\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}>0$
Tương đương t=2.
Vậy M(1;-1;2).
Bình luận: Trong cách giải trên ta sử dụng BĐT hình học
$ f(t)=|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{v}|\geq |\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|$
và mấu chốt để cách giải này luôn thực hiện được là do hệ số của $ t^2$ trong hai biểu thức dưới căn luôn bằng nhau.
Chú ý khác là mọi tam thức bậc hai $ f(x)=ax^2+bx+c$ không âm trên $ \mathbb{R}$ luôn viết được dưới dạng $ f(x)=(\alpha x+\beta)^2+\gamma^2$.
Bài tập thêm
Cho đường thẳng $ d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+1}{-2}$ và hai điểm A(0;1;2), B(-1;2;3).
Tìm M thuộc d sao cho
1. $ MA^2+MB^2$ nhỏ nhất.
2. $ MA+MB$ nhỏ nhất.
3. $ |2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|$ nhỏ nhất.
4. $ |2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|$ nhỏ nhất.
Nguồn: http://mathblog.org
Cho hai điểm $ A(1;1;0),B(3;-1;4)$ và đường thẳng
$ d:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+2}{2}$
Tìm điểm $M$ trên $d$ sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất.
Hướng dẫn.
Đây là một trong số các bài toán cực trị hình học thuộc chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian mà mathblog.org sẽ lần lượt giới thiệu.
Trước khi giải chi tiết Bài toán 1, chúng ta xét bài toán tổng quát: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A,B và đường thẳng d. Tìm điểm M trên d sao cho MA+MB nhỏ nhất.
Để giải Bài toán tổng quát trên, ta xét các trường hợp sau:
TH1: Đường thẳng AB và d đồng phẳng.
Trong TH1 lại xét hai khả năng:
KN1: A,B nằm khác phía đối với d.
Khi đó $ MA+MB\geq AB$ nên $ MA+MB$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $ M,A,B$ thẳng hàng. Suy ra $ M=AB\cap d$.
KN2: A,B nằm về cùng phía đối với d.
Khi đó gọi A' là điểm đối xứng với A qua d. Ta có $ MA+MB=MA'+MB\geq A'B$. Do đó MA+MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M,A',B thẳng hàng. Suy ra $ M=A'B\cap d$.
TH2. Đường thẳng AB và d không đồng phẳng.
Ta sẽ tiến hành giải Bài toán 2 luôn vì nó rơi vào TH này, sau đó sẽ rút ra phương pháp chung.
Giả sử $ M\in d\Rightarrow M(-1+t;1-t;-2+2t)$.
$ MA=\sqrt{(t-2)^2+(-t)^2+(2t-2)^2}=\sqrt{6t^2-12t+8}$
$ MB=\sqrt{6t^2-36t+56}$
Bài toán trở thành tìm GTNN của hàm số
$ f(t)=\sqrt{6t^2-12t+8}+\sqrt{6t^2-36t+56}$
Ta viết $ f(t)=\sqrt{(\sqrt{6}t-\sqrt{6})^2+2}+\sqrt{(\sqrt{6}t-3\sqrt{6})^2+2}$
Đặt $ \overrightarrow{u}=(\sqrt{6}t-\sqrt{6};\sqrt{2})$
$ \overrightarrow{v}=(-\sqrt{6}t+3\sqrt{6};\sqrt{2})$
Khi đó ta có $ f(t)=|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{v}|\geq |\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|$
Suy ra $ f(t)\geq \sqrt{(2\sqrt{6})^2+(2\sqrt{2})^2}=4\sqrt{2}$
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai vecto $ \overrightarrow{u}$ và $ \overrightarrow{v}$ cùng hướng hay $ \dfrac{\sqrt{6}t-\sqrt{6}}{-\sqrt{6}t+3\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}>0$
Tương đương t=2.
Vậy M(1;-1;2).
Bình luận: Trong cách giải trên ta sử dụng BĐT hình học
$ f(t)=|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{v}|\geq |\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|$
và mấu chốt để cách giải này luôn thực hiện được là do hệ số của $ t^2$ trong hai biểu thức dưới căn luôn bằng nhau.
Chú ý khác là mọi tam thức bậc hai $ f(x)=ax^2+bx+c$ không âm trên $ \mathbb{R}$ luôn viết được dưới dạng $ f(x)=(\alpha x+\beta)^2+\gamma^2$.
Bài tập thêm
Cho đường thẳng $ d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+1}{-2}$ và hai điểm A(0;1;2), B(-1;2;3).
Tìm M thuộc d sao cho
1. $ MA^2+MB^2$ nhỏ nhất.
2. $ MA+MB$ nhỏ nhất.
3. $ |2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|$ nhỏ nhất.
4. $ |2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|$ nhỏ nhất.
Nguồn: http://mathblog.org
