binvippro

mình thấy topic ôn luyện VMO 2015 sao mạnh mẽ mà topic này ít người hưởng ứng vậy 

Nếu $23^{2k} \parallel VT$ mà $23^{2k} \equiv 1 \pmod{4}, VT \equiv 3 \pmod{4}$ ta suy ra tồn tại một ước nguyên tố $p \; (p \ne 23)$ của $VT$ sao cho $p \equiv 3 \pmod{4}$ Từ đây ta suy ra tiếp $p|46,p |y$ dẫn đến $p=23$, mâu thuẫn. Vậy $23^{2k+1} \parallel VT$.

còn cái này sao bạn ? 

$JD$ cắt $(I)$ tại K,tiếp tuyến tại $K$ cắt $BC$ ở $T$, $TI$ cắt $JK$ tại $N$

ta có $TI.TN=TB.TC=TD^{2}=TK^{2}$

$T$ thuộc trục đẳng phương của $(I)$ và $(BPC)$

$(I)$ cắt lại $(PBC)$ tại $H$

ta có $H,P,T$ thẳng hàng

ta sẽ cm $M,D,H$ thẳng hàng

thật vậy ta có $D(QJPM)=-1$ (1)

lại có $PKHD$ điều hòa nên $D(DKPH)=-1$(2)

Từ (1) và (2) ta có $M,D,H$ thẳng hàng

Kẻ $MX$ vuông góc $BC$, $IY$ vuông góc $DH$

ta có $\triangle MDX$ đồng dạng với $\triangle IDY$

$\Rightarrow DM.DY=ID.MX\Rightarrow DM.DH=r.R_{a}$

ta chỉ cần cm $r.R_{a}= DB.DC$

Thật vậy qua $J$ kẻ $JE$ vuông góc $BC$ ta có

$\triangle IBD\sim \triangle BEJ$

$\Rightarrow ID.JE=BD.BE=BD.DC$ (DPCM)

bạn giải thích chỗ này chút được không ? 

Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) và đường tròn ngoại tiếp (O). đường thẳng qua I vuông góc với OI cắt phân giác ngoài góc BAC và BC tại P,Q. Chứng minh PI=2QI

Cho tam giác ABC nội tiếp (O), có phân giác trong AD,BE,CF cắt nhau tại I. Gọi T là trực tâm tam giác DEF.Chứng minh IT song song với đường thẳng euler của tam giác ABC 

$\boxed{\text{Problem}}$Cho $\Delta ABC$ với phân giác trong $BE,CF$ cắt nhau tại $I$ và lần lượt cắt $(ABC)$ ở $M,N$.Đoạn $MN$ lần lượt cắt $AC,AB$ tại $P,Q$ Đường thẳng qua $P$ song song với $CF$ cắt đường thẳng qua $Q$ song song với $BM$ ở $T$.Chứng minh rằng $TI$ đi qua trung điểm $EF$

 

Capture.PNG

một bài toán thú vị khác là $T,I$ và trung điểm $EF$ cùng đi qua giao điểm hai tiếp tuyến ở $B$ và $C$

ai có lời giải bài toán thêm rồi nhỉ 

Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Trung trực BC cắt (O) tại K nằm cùng phía với A đối với BC. E thuộc trung trực của BC. Gọi X,Y là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABE và tam giác ACE. Chứng minh A,K,X,Y cùng thuộc một đường tròn 

Từ điểm $S$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $SH,SK$ và cát tuyến $SPQ$ ($P$ nằm giữa $S,Q$) đến $(O)$. Từ $P$ kẻ tiếp tuyến với $(O)$ cắt $SK$ tại $T$ và $QK$ tại $V$. Gọi $I$ là giao điểm của $QT$ và $(O)$.

 

Chứng minh $H,I,V$ thẳng hàng.

Gọi VH giao (O) tại I' và ta chứng minh $I\equiv I'$ bằng cách chứng minh PI'KQ là tứ giác điều hòa

Vì $\Delta VPI'\sim \Delta VHP$ nên PI'= $\frac{VP.PH}{VH}$ 

Vì HI'KQ là tứ giác nội tiếp nên I'K= $\frac{VK.HQ}{VH}$ . 

Do đó việc chứng minh PI'KQ là tứ giác điều hòa tương đương với việc chứng minh đẳng thức :

VK.HQ.PQ=VP.PH.KQ (*)

Mà HPKQ là tứ giác điều hòa nên PH.KQ = PK.HQ 

Nên (*) tương đương VK.PQ=VP.PK ( đúng ) do $\Delta VKP\sim \Delta VPQ$ 

Từ $A$ ở bên ngoài đường tròn $(O)$, vẽ các tiếp tuyến $AB,AC$ ($B,C$ là các tiếp điểm) và cát tuyến $ADE$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc $OB$ cắt $BC,BE$ theo thứ tự ở $H,K$. Chứng minh $DH=HK$

BC giao DE tại T thì (ATDE)=-1 

=> B(ATDE)=-1 

Do DH // AB ( cùng vuông góc với OB)

suy ra DH=HK 

Nếu được bạn có thể làm luôn câu Bất được không ? 

Mình tiếp tục một bài nữa cũng khá hay 

Bài 60: Cho ngũ giác ABCDE . Điểm F thuộc AB sao cho $\Delta ADE\sim \Delta ECF\sim \Delta DBC$. Chứng minh rằng $\frac{AF}{BF}= \frac{EF^2}{CF^2}$

Mình nghĩ đây là bài toán hình khá hay sẽ trở thành một bổ đề khi làm toán 

Bài 57: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Đường tròn $(\omega )$ tiếp xúc với AB,AC và tiếp xúc trong với (O) tại S. Đường tròn bàng tiếp góc A là (J) tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh $\widehat{SAB}= \widehat{DAC}$

Bài 47: Cho tứ giác $ABCD$ hai đường chéo $AC$ và $BD$ giao nhau tại $E.M,N$ thuộc $AB$ sao cho $AM=MN=NB$; $P,Q$ thuộc $CD$ sao cho $DP=PQ=QC$. $MQ$ giao $AC$ tại $K$. $NP$ giao $BD$ tại $L$. $MQ$ giao $NP$ tại $I$. Chứng minh rằng $EI$ luôn đi qua trung điểm của $KL$

Cho tứ giác ABCD hai đường chéo AC và BD giao nhau tại E.M,N thuộc AB sao cho AM=MN=NB; P,Q thuộc CD sao cho DP=PQ=QC. MQ giao AC tại K.NP giao BD tại L.MQ giao NP tại I. Chứng minh rằng EI luôn đi qua trung điểm của KL

Tự hào là thành viên VMF

Chứng minh bất đẳng thức sau 

$(x^2+y^2)(y^2+z^2)(z^2+x^2)(xy+yz+zx)^2\geq 8x^2y^2z^2(x^2+y^2+z^2)^2$ với mọi x,y,z>0

Tự hào là thành viên VMF