19kvh97

Cho A là ma trận vuông cấp $n$ sao cho mỗi hàng mỗi cột có đúng $1$ phần tử bằng $1$, còn lại bằng $0$. CMR tồn tại số tự nhiên $k$ thỏa mãn $A^k$ là ma trận đơn vị

Cho các số thực $k_1, k_2,...,k_n$ khác nhau từng đôi một. Chứng minh rằng 

$a_1.k^m_1+a_2.k^m_2+....+a_n.k^m_n=0\Leftrightarrow a_1=a_2=...=a_n=0$ với mọi $m$ là số tự nhiên

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$. Tìm MIN của 
$P=\frac{a^2}{b^2+c^2+7bc}+\frac{b^2}{a^2+c^2+7ac}-\frac{3(a+b)^2}{4}$

 

ĐỀ THI CHỌN HSG THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2014-2015

Ngày thi: 28/10/2014

Thời gian làm bài: 180 phút

 

Bài V: (4 điểm)

Cho dãy $(u_n)$ xác định bởi $$u_1=2015;u_{n+1}=u_n^2-2014u_n+2014 \; \forall n\in \mathbb{N}$$

Chứng minh với mọi $n$ nguyên dương các số $u_1,u_2,...u_n$ đôi một nguyên tố cùng nhau.

 

 

 

 

--Hết--

 

cả đề làm được mỗi câu này :

dễ cm $u_n$ là dãy nguyên

Gọi $(u_n;u_{n+1})=d$ từ hệ thức truy hồi suy ra $d \in Ư(2014)$

mặt khác từ hệ thức truy hồi ta có $u_{n+1}-u^2_n \vdots 2014$ do đó $u_n\equiv u^{2^{n-1}}_1\equiv 1 (mod 2014)$

từ 2 điều trên suy ra $d$ chỉ có thể bằng $1$ đpcm

Cho $n$ là số nguyên dương lẻ và lớn hơn $1$. Chứng minh rằng với mọi số $a=2^k+1$ với $k$ là số nguyên dương thì 

$a^n-1$ không chia hết cho $n$

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn $P(x^2)=P(x).P(x+2)$

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f(xf(x)+f(y))=f^2(x)+y$ với mọi số thực $x,y$

Bài toán quen thuộc: có sáu chiếc bánh xe, mỗi chiếc có $10$ chữ số $0,1,...,9$. Người chơi quay lần lượt 6 chiếc bánh xe này để nhận bộ $6$ số $(a_1,a_2,...,a_6)$. Người chơi sẽ trúng thưởng khi $a_1+a_2+a_3=a_4+a_5+a_6$. Tính xác xuất trúng thưởng.

Lời giải có đoạn...

Số bộ cần tìm bằng số các bộ $(x_1,x_2,...,x_6)$  $(0 \le x_i\le 9$ thỏa điều kiện: $\sum_{i=1}^6x_i=27$

...Dễ thấy phép tương ứng $x_i=a_i (i=1,2,3) $ và $x_i=9-a_i (i=4,5,6)$ là song ánh.

Gọi $S$ là tập hợp các bộ số tự nhiên $(x_1,x_2,...,x_6)$ thoả $\sum_{i=1}^6x_i=27$.

Với mỗi $k=1,2,...6$ gọi $A_k$ là bộ số tự nhiên thỏa $x_k \ge 10 và \sum_{i=1}^6=27$

Rõ ràng số cần tìm là $\left | S \right |-\left | \bigcup_{k=1}^6A_k \right |$. Chỗ này là sao??? Ở trên đã khẳng định: "Số bộ cần tìm bằng số các bộ $(x_1,x_2,...,x_6)$  $(0 \le x_i\le 9$ thỏa điều kiện: $\sum_{i=1}^6x_i=27$" sao xuống dưới lại trừ ra cái kia nữa?

thật sự là t ko hiểu bài này cho lắm nhưng cái phần đó có thể hiểu thế này

số bộ cần tìm phải thỏa mãn $0\leq x_i \leq 9$ mà $S$ là bộ với mọi $x_i$ còn $A$ là với $x_i \geq 10$ nên hiển nhiên trừ đi sẽ ra bộ có $0\leq x_i \leq 9$ thôi

có gì ko đúng bạn chỉ  cho t

Cho dãy $a_n$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} a_1=a \in \mathbb{Z}^* & & \\ a_{n+1}=a_n+[\sqrt{a_n}] & & \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng tồn tại nhiều hơn $1$ giá trị nguyên của $n$ để $a_n$ có giá trị là một số chính phương 

Cho tứ giác $ABCD$ có các cặp cạnh đối không  song song nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là giao điểm của $AC$ và $BD$; $AD$ và $BC$; $AC$ và $BD$. Chứng minh rằng $O$ là trực tâm tam giác $NMP$ (định lý Brocard)

chỗ in màu đỏ biến đổi tương đương kiểu gì vậy bạn,?Mình thấy mẫu số chưa chắc đã dương.

$x^2+y^2+z^2\leq3$ nên $x^2\leq3$ suy ra $x<2$ vậy là dương rồi nhé

còn cái kia sẽ biến đổi về $\frac{(x-1)^2(2-x)}{18(4-x)}\geq0$ vậy là nó dương vì $x<2$

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a⁴ +b⁴ +c⁴ = 3. CMR:

$\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4- ac}\leq 1$

Đặt $ab=x,bc=y,ca=z$ rút ra rồi từ giả thiết ta có $x^2+y^2+z^2\leq \frac{y^2z^2}{x^2}+\frac{x^2y^2}{z^2}+\frac{z^2x^2}{y^2}=3$

bằng cách biến đổi tương đương ta có $\frac{1}{4-x}\leq \frac{x^2-1}{18}+\frac{1}{3}$

xây dựng tương tự ta có $\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4- ac}\leq \frac{x^2+y^2+z^2-3}{18}+1\leq1$  

ĐPCM

 

                           $\sum \frac{1}{ab-4}\geqslant \frac{9}{\sum ab-12}$

hình như cái này chỉ đúng khi mẫu dương thôi chứ nhỉ

 

THPT CHUYÊN NGUYỄN DU - BUÔN MA THUẬT - ĐĂK LĂK

ĐỀ THI LẬP ĐỘI TUYỂN TOÁN LỚP 12 ( VÒNG 1) 

NĂM HỌC 2014-2015

 

Bài 5

 

         

 

            2. cho dãy số (x_n),n = 0, 1, 2,.... xác định bởi x₀  = a  , x_n+1 = $\sqrt{1+\frac{1}{x_{n}+1}}$

và a là số cho trước lớn hơn 1. CM rằng (x_n) có giới hạn.

 

P/s: mọi người ai có hướng giải thì nhớ viết đầy đủ, chính xác nhất cho các bạn tiện theo dõi, bàn luận   

 

dễ thấy $x_n>1$ do đó từ công thức truy hồi suy ra $x_n<\sqrt{\frac{3}{2}}$

Mặt khác theo bđt bernoulli ta có $x_{n+1}=(1+\frac{1}{x_n+1})^{\frac{1}{2}}\geq1+\frac{1}{2(x_n+1)}$

mà ta có $1+\frac{1}{2(x_n+1)}\geq x_n\Leftrightarrow x^2_n\leq \frac{3}{2}$ (đúng do $x_n<\sqrt{\frac{3}{2}}$)

suy $x_n$ là dãy tăng do đó $x_n$ có giới hạn là a thỏa mãn $f(a)=a^3+a^2-a-2=0$ dễ thấy $f(1).f(\sqrt{\frac{3}{2}})<0$ nên $x_n$ tồn tại giới hạn hữu hạn 

P/s: cho xin ý kiến ạ :3

Cho đa thức với hệ số thực $P(x)=x^4 + a.x^3+b.x^2+c.x+d$, biết rằng $P(x)=0$ không có nghiệm thực.

Chứng minh $F(x)=P(x) +P'(x)+P''(x)+P'''(x)+P^{(4)}(x)>0$ với mọi số thực $x$