chinhanh9

Bài 1:

Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c$ ta có:

$2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\ge (1+a)(1+b)(1+c)$

Bài 2: 

Chứng minh rằng với mọi $a,b,c >0$ ta có:

$\sum \frac{a^4}{1+a^2b} \ge \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$

Bài 3:

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}\geq \sqrt{3}$

Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh:

$( a^2+4 )(b^2+4)(c^2+4)\geq 5(a+b+c+2)^{2}$

 

Phát biểu bài toán tổng quát.

Cách của mình:

Đặt $\Delta x=x-x_0$, giới hạn cần tìm trở thành: 

$$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+2013\Delta x)-f(x-2014\Delta x)}{4027.\Delta x}$$

$$=\frac{2013}{4027}\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+2013\Delta x)}{2013.\Delta x}+\frac{2014}{4027}\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x-2014\Delta x)}{2014.\Delta x}$$

$$=\frac{2013}{4027}f'(x_)+\frac{2014}{4027}f'(x)=f'(x)=9x$$

Giới hạn cần tìm bằng $9x_0$

 

------------

 

Số 9 trong chinhanh9

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x\rightarrow \infty }(x+m)sin\frac{n}{x}$

 

 

$\lim_{x\rightarrow \infty }(x+m)sin\frac{n}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty }((x+m).\frac{n}{x}.\frac{\sin\frac{n}{x}}{\frac{n}{x}})$

$= \lim_{x\rightarrow \infty }((x+m).\frac{n}{x}).\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\sin\frac{n}{x}}{\frac{n}{x}}= n.1=n$

Áp dụng định lý $cosin$ trong tam giác $OAB$, ta được $AB=a$. Suy ra $OA^2+AB^2=2a^2=OA^2$. Do đó $OA \perp AB$.
Mặt khác $\overrightarrow {OA}.\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {OA}.(\overrightarrow {OC}-\overrightarrow {OB})=0$
$\Rightarrow$ đpcm

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi:
$\left\{\begin{matrix} u_0=0 & \\ u_1=1 & \\ u_{n+1}=4u_n-u_{n-1} & \end{matrix}\right.$
Xác định tất cả các số nguyên dương $n$ để $u_n$ chia hết cho $3$

$\overrightarrow {AA_1}=\frac{1}{3}\left ( \overrightarrow {AB }+\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AD}\right )$
$\Rightarrow AA_1^{2}=\frac{1}{9}(AB^2+AC^2+AD^2)+\frac {2}{9}(\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AC}.\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AD})$
$\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC}= \frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$
Tương tự và cộng lại, ta được:
$AA_1^2=\frac{1}{3}(AB^2+AC^2+AD^2)-\frac{1}{9}(BC^2+CD^2+BD^2)$
Lại "Tương tự và cộng lạ, ta được:" đpcm

Sau đây là một bài toán về chùm điều hòa, tạm gọi là bài toán 4 tia:
Bài 9: Cho chùm điều hòa $(Ax, Ay,Az,At)= -1$.$X$ là một điểm bất kì nằm trên tia $Ax$. Hai đường thẳng $a,a'$ qua $X$ cắt đường thẳng $Ay, Az,At$ theo thứ tự tại $Y,Z,T$ và $Y',Z',T'$.Chứng minh $Y'T,YT',AZ'$đồng quy.
Sau đây là một số bài toán áp dụng đơn giản:
Bài 9.1: Cho hình thang $ABCD, AB//CD$. $M$ là trung điểm của $CD$. $I$ là một điểm thuộc $AB$. $AM$cắt $BD,DI$ lần lượt tại $E,F$. $IE$ cắt $BF$ tại $N$. Chứng minh: $A,N,C$ thẳng hàng.
Bài 9.2: Cho hình thang $ABCD, AB//CD$, $M$ là một điểm bất kì trên $AD$. $AC$ cắt $BM,BD$ lần lượt tại $F,E$.$DF$ cắt $ME$ tại $I$, $AM$ cắt $CD$ tại $N$. Chứng minh: $N$là trung điểm của $CD$.
Bài toán mở rộng của bài toán 4 tia, tạm gọi là bài toán 6 tia:
Bài 10: Cho sáu tia $Ax,Ay,Az,At,Au,Av$ thỏa mãn: $(Ax,At,Ay,Av)= -1, (Ax,At,Az,Au)= -1$
$I$ là một điểm bất kì trên $Ax$. Qua $I$ kẻ hai đường thẳng $a,a'$ sao cho $a$ cắt $Ay,Av$ tại $M,N$,$a'$ cắt $Az,Au$ tại $P,Q$ Chứng minh:$MQ,PN,At$ đồng quy.
P/S: Đây là bài mình gửi MS cách đây đã hơi lâu... bây giờ gặp topic này tự nhiên muốn post lại

Cho hình chóp $ABCD$ có $AB=AC=AD$, $\Delta BCD$ đều có trọng tâm $G$. $I$ là một điểm bất kì nằm trên đường thẳng $AG$. Chứng minh: $IB=ID$.

Bài 4:
Gán $1\to A, 2\to B,1\to C,2\to D, 1 \to X$
Quy trình bấm phím:
$X=X+1:C=22B-15A:D=17B-12A:A=C:B=D$
$=$ $=$
Kết quả:
$u_{18}=1055662493, v_{18}=673575382$

1. Xét tính bị chặn của dãy số $u_{n}$ xác định bởi:
$u_{1}=3, u_{n+1}=\frac{2+u_{n}^{2}}{2u_{n}}$
2. Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) $u_n=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}$
b) $u_n=2\sin (n+1)-3\cos n$

Bài 6: (Tự chế)
$\left\{\begin{matrix} 16x^2+y^2-1=0 (1)& \\ 3y^2+5xy+4x+5y-7=0 (2) & \end{matrix}\right.$

$(1)+8.(2)=16x^2+y^2-1+8(3y^2+5xy+4x+5y-7)$
$=16x^2+40xy+25y^2+8(4x+5y)-57$
$=(4x+5y)^{2}+8(4x+5y)-57$
Ta có:
$(4x+5y)^{2}+8(4x+5y)-57=0\Leftrightarrow 4x+5y=\frac{-4\pm \sqrt{73}}{2}\Rightarrow ...$
Đúng là nghiệm hơi xấu (có ý đồ cả )
Đây là phương pháp hệ số bất định, hơi bị hay nhưng chỉ có thể giải được một số hệ phương trình thôi.
Còn từ bài 1 đến bài 4 mình đều chế theo kiểu tịnh tiến nghiệm (bài 5 lấy trong tài liệu tham khảo), nhưng rồi phát hiện ra mọi hệ giải được bằng tịnh tiến nghiệm lại đều có thể giải được bằng cách phân tích thành nhân tử hay tổng bình phương như bạn hoangngocbao1997 nên đã đổi.

Cho pt $25x^{4}+260x^{3}+671x^{2}-26x+m=0$ $(1)$
a) Tìm m để pt có nghiệm
b) Giải pt khi $m=-42$

$a)$ $(1)\Leftrightarrow (5x^2+26x)^2-(5x^2+26x)+m=0 (2)$
Đặt $y=5x^2+26x$ thì $y\geq -\frac{5}{169}$ và $(2)$ trở thành:
$y^2-y+m=0 (3)$
$(1)$ có nghiệm $x$ khi và chỉ khi $(3)$ có nghiệm $y\geq -\frac{5}{169}$.
$(3)$ có nghiệm khi và chỉ khi $m\leq \frac{1}{4}$
Ta có: $(3)\Leftrightarrow m-\frac{1}{4}= -(y-\frac{1}{2})^{2}$
$y\geq -\frac{5}{169}\Leftrightarrow -(y-\frac{1}{2})^{2}\leq \frac{179^2}{338^2}$
Nên $(3)$ có nghiệm $y\geq -\frac{5}{169}\Leftrightarrow m\leq \frac{1}{4}+\frac{179^{2}}{338^{2}}$
Tóm lại, $m\leq \frac{1}{4}+\frac{179^{2}}{338^{2}}$ là điều kiện cần tìm.
$b)$ Từ câu a dễ dàng giải được.

Giải hệ phương trình:
Bài 1:
$\left\{\begin{matrix} a^2+2b^2-4a+12b+22=0 & \\b^2-6a+10b-2ab+21=0 & \end{matrix}\right.$

Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
$x^{2}-14xy+y^{2}+12= 0$
Bài ni gửi MO mà không được chọn