chinhanh9

Bài này nghiệm lẻ quá http://www.wolframal...3+12x^2+6x+1= 0
nếu không dùng hai cách trên thì hơi khó bạn có thể post lời giải được không

OK.
Phương trình đã cho tương đương với:
$11x^{3}+\left ( 2x+1 \right )^{3}=0$$\Leftrightarrow 2x+1=-\sqrt[3]{11}x$$\Leftrightarrow x= -\frac{1}{2+\sqrt[3]{11}}$
Hay chưa nào...........

Bài 33:Giải phương trình:
$19x^{3}+12x^{2}+6x+1= 0$
No cardano, lượng giác hóa.

Có sai sót gì xin chỉ giáo!
Để giải bài toán này ta cần có hai bổ đề:
Bổ đề 1: (Cho tam giác và gọi tên các điểm như ở đề bài toán) (hình đầu tiên)
Đường thẳng qua $X$ tiếp xúc với $\left ( I \right )$ tại $A_{2}$. Tương tự đối với $B_{2},C_{2}$. Khi đó, ta có: $M_{a}A_{2}, M_{b}B_{2}, M_{c}C_{2}$ đồng quy tại điểm $F$ - chính là điểm Feuerbach của tam giác $ABC$.
Bổ đề 1 được Chinhanh9 phát hiện dựa vào thực nghiệm, chưa biết chứng minh.
Bổ đề 2: (quen thuộc nên cũng xin không chứng minh) (hình thứ hai)
Cho đường tròn $\left ( O \right )$, $MA,MB$ là hai tiếp tuyến. Vẽ cát tuyến $MCD$. Khi đó, hai tiếp tuyến của $\left ( O \right )$ tại $C, D$ và đường thẳng $AB$ đồng quy tại điểm $I$.
Trở lại với bài toán của anh qua: (hình cúng cuồi)
Qua$X$ kẻ đường thẳng tiếp xúc với $\left ( I \right )$ tại $A_{2}$. Đường thẳng qua $A_{1}$ và vuông góc với $IM_{a}$ cắt $\left ( I \right )$ tại $A_{3}$, thì $MA_{3}$ là tiếp tuyến của $\left ( I \right )$. Theo đề thì $X_{a}$$= A_{1}A_{3}\cap XA_{2}$. Theo bổ đề 1, ta có $F = MA_{2}\cap \left ( I \right )$. Theo bổ đề 2, $X_{a}$ thuộc đường thẳng $d$ đi qua $F$ và tiếp xúc với $\left ( I \right )$. Suy ra điều tương tự đối với $X_{b}, X_{c}$. Từ đó ta được ĐPCM.

Trong khi học về dãy số - giới hạn, mình tìm được tài liệu này, mong rằng sẽ có ích ít nhiều cho các bạn:

Bài 40
Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O). AB, BC, CD, DA tiếp xúc với (O) lần lượt tại M, N, P, Q. MQ cắt AN, AP lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng: BF, DE, AC đồng quy.

nghe tiêu đề thì sợ nhưng bài này lớp 9 cũng làm được:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F . ( CDF) cắt (BCE) tại M. AC cắt BD tại N . CMR: M, N , O thẳng hàng.

Đã lâu rồi nhưng mình cũng giải vậy:
Các tứ giác $CBMF, CDME$ nội tiếp đường tròn nên:
$\angle CMF= \angle CBF= \angle CBA$
$\angle CME= \angle CDE= \angle CDA$
$\Rightarrow \angle EMF= \angle CBA+\angle CDA= 180$
Nên $E,M,F$ thẳng hàng
Mặt khác:
$\angle DMF = \angle BME= \angle BCD
$\Rightarrow \angle BMD$= 180-2\angle BCD=180-\angle BOD
\Rightarrow BODM$ nội tiếp đường tròn
$\Rightarrow \angle BMO= \angle BDO=\angle DBO= \angle DMO$
Từ đó ta được $OM$ vuông góc với $EF$
Việc còn lại là chứng minh $ON$ cũng vuông góc với $EF$, thì đây chính là nội dung của định lý Brocard (cái này mới moi được trên THTT). Chứng minh bằng cực và đối cực như sau: Dễ thấy $N$ lần lượt nằm trên đường đối cực của $E$ và $F$ đối với đường tròn $\left ( O \right )$ nên $EF$ là đường đối cực của $N$ đối với $\left ( O \right )$, từ đó $ON$ vuông góc với $EF$
Vậy $M,N,O$ thẳng hàng............xong!
Á...........................................................Trời ơi mình lộn $E$ với $F$

Quên nữa bài toán này thật ra được sáng tạo ra từ một bài toán quen thuộc của hình học 9: Cho tam giác $ABC$ đều nội tiếp đường tròn tâm $O$. $P$ là một điểm nằm trên cung $BC$. Chứng minh: $PA= PB+PC$
Nếu mở rộng bài toán trên cho các đa giác đều ta sẽ được những kết quả thú vị. Ý tưởng này xuất phát từ một tài liệu tiếng anh mình đã tải từ diễn dàn. Mình đã thử với hình vuông và ra bài đã post, các bạn thử tiếp nhé

Chẳng có ai giải nên mình tự giải vậy, bạn nào thấy hay thì cho một phiếu like để động viên nhá (vì mới tập vẽ cũng như gõ công thức nên không được đẹp cho lắm)

Trên các đoạn thẳng $PA, PB$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ sao cho $DM$ vuông góc với $PA, CN$ vuông góc với $PC$. Dễ thấy các tam giác $PDM,PCN$ vuông cân. Do đó:
$PM= \sqrt{2}PD, PN= \sqrt{2}PC$
Mặt khác các tam giác $CPD$, $AMD$, $CNB$ bằng nhau, suy ra:
$PC= MA$, $PD= NB$
Từ đó:
$PA= PC$ + $\sqrt{2}$$PD$
$PB= PD$ + $\sqrt{2}$$PC$
$\Rightarrow$ $PA+PB$ = $\left ( 1+\sqrt{2} \right )\left ( PC+PD \right )$
Vậy $\frac{PC+PD}{PA+PB}= \frac{1}{1+\sqrt{2}}= \sqrt{2}-1$