sptb

Anh chị hướng dẫn giúp em bài toán sau ạ:

Cho nhóm tự do $F$ và nhóm con $N\leq F$ sinh bởi tập $\left \{ x^n |x \in F \right \}$ (n là số nguyên cố định). Chứng minh $N$ là nhóm con chuẩn tắc của $F$

Em cảm ơn anh/chị

Nhờ anh chị hướng dẫn giúp em bài toán sau:

Cho đường thẳng d và hai điểm A, B thuộc d. Trong một nửa mặt phẳng có bờ là d cho hai đường tròn thay đổi (O) và (O') lần lượt tiếp xúc nhau tại C. Đường tròn $(\alpha )$ tiếp xúc với (O), (O') và d lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng: M, N thuộc một đường tròn cố định. 

Em cảm ơn anh/chị.

Nhờ anh chị hướng dẫn em chứng minh ý sau:

$(m,n)= d \Rightarrow (m,\frac{n}{d})= 1$ hoặc $(n,\frac{m}{d})= 1$

Em cảm ơn anh chị.

Nhờ anh chị hướng dẫn em bài toán sau
Tính tổng
$$\sum_{x=0}^{p-1}\bigg(\frac{x(x+k)}{p}\bigg)$$
Với $p\in \mathcal{P}, k \in \mathbb{N}, (p,k)=1$ và các số hạng đều là ký hiệu Legendre.
Em cảm ơn anh chị.

Cho $\text{a} \in \mathbb{Z}$ $,$ $\text{a} \neq 0$. Chứng minh rằng : có vô số hợp số $\text{m}$ sao cho $\text{a}^{\text{m} - 1} \equiv 1 ( \text{mod m} )$.