cunshockbaby

c) (Mượn hình ở trên)

Gọi G, H là giao điểm của IK với đường tròn tâm I => $\\IB^{2} - IK^{2} = (IB-IK).(IB+IK) = (IG - IK).(IH+IK)= KG.KH$

Phương tích => $\\KG.KH = KD.KB$

=> VP = $\ \frac{KB}{KD}$

VT = $\ \frac{ND}{MB} = \frac{AD}{AB} = \frac{CB}{CD}$ (ở câu b chứng minh tam giác ADN và ABM cân)

T/c đường phân giác => $\ \frac{CB}{CD} = \frac{KB}{KD}$ => đpcm

1) Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn a+b+c=2. Tìm GTLN của 

P = $\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}} + \frac{bc}{\sqrt{bc+2a}} + \frac{ca}{\sqrt{ca+2b}}$

2) Với $0 \leq x,y,z \leq 1$. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình

ĐKXĐ: x $\geq  \frac{5}{6}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM $\sqrt[6]{6x-5} \leq \frac{6x-5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1}{6} = x$

Ta c/m $\frac{x^{7}}{8x^{2} - 10x + 3} \geq  x$

$\Leftrightarrow x(x-1)^{2}(x^{4} + 2x^{3} + 3x^{2} + 4x - 3 \geq 0$ (vì $2(8x^{2} - 10x + 3) = (4x - \frac{5}{2} )^{2} - 1/4 > 0$, đúng theo đkxđ)

$x^{4} + 2x^{3} + 3x^{2} + 4x - 3 = x^{2}(x+1)^{2} + 2(x + 1)^{2} - 1 >0$ (luôn đúng theo đkxđ) => đpcm

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x = 1$

$3A\leq \frac{(xy+yz+zx)^{2}+3xyz\sqrt{\sum x^{2}}}{(\sum x^{2})(\sum xy)}=\frac{\sum xy}{\sum x^{2}}+\frac{3xyz}{\sqrt{\sum x^{2}}(\sum xy)}\leq 1+\frac{3xyz\sqrt{3}}{(\sum x)(\sum xy)}\leq 1+\frac{3xyz\sqrt{3}}{3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}=1+\sqrt{3}.$

Chỗ đỏ phải là $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 

Lần lượt áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho xy + yz + xz và x + y + z dương rồi nhân lại thì ta được

$(xy + yz + xz)(x + y + z) \geq 9xyz \Leftrightarrow  xyz \leq \frac{(xy + yz + xz)(x + y + z)}{9}$

Do đó:  $S\leq \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}{9(x^{2} + y^{2} + z^{2})}$ 

$\Leftrightarrow S \leq \frac{1}{9}[ \frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + \frac{x+y+z}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}]$

Mà $3(x^{2} + y^{2} + z^{2})  \geq (x+y+z)^{2} \Leftrightarrow \frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \leq 3 và \frac{x+y+z}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} \leq \sqrt{3}$

=> $S \leq \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{9}$

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z

Bài này sáng nay thi chuyên chung lsơn.

Đây là 1 bài toán quen thuộc: Tìm GTNN $a + \frac{1}{a}$ với a > 0. (có thể là 2,3,4...)

Bạn nào chỉ cho minh chỗ sai của cách giải này được không. Biết nó sai mà chưa giải thích được:

$a + \frac{1}{a} = \frac{3a}{4} + \frac{a}{4} + \frac{1}{a} \geq  \frac{3a}{4} + 2\sqrt{1.\frac{1}{4}} =  \frac{3a}{4} + 1$ (*)

Dấu "=" xảy ra khi a = 2 rồi thay vào (*) tìm min