Kwon Simonster

Chứng minh rằng

 

$\frac{1}{3(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})}+\frac{1}{7(\sqrt{3}+\sqrt{4})}+...+\frac{1}{4015(\sqrt{2007}+\sqrt{2008})}< \frac{2007}{2009}$

 

Mình cần giải bài này gấp. mong mọi người giúp đỡ 

Cảm ơn nhìu ạ =))

Bài 1:Tính giá trị biểu thức sau: $A=cos$ $x-2sin$ $x-cos$ $2x$

Bài 2:Tìm x, y
a) $2\sqrt{2x-3y}+\sqrt{5-x+y}=7$
b) $3\sqrt{5-x+y}-\sqrt{2x-y-3}=1$

(những bài sau đây hầu như đều có ĐK a,b,c (hoặc x,y,z dương (không âm),mình xin không viết lại,các bạn hãy hiểu là ĐK đó đã cho sẵn rồi,các ĐK khác (nếu có )mình sẽ ghi kèm đề )


Bài 60:$\frac{b^3+c^3}{a}+\frac{c^3+a^3}{b}+\frac{a^3+b^3}{c}\geq 2(ab+bc+ca)$

Updating...

Cách 1: Đặt $B=\frac{a^{3}+b^{3}}{c}+\frac{b^{3}+c^{3}}{a}+\frac{c^{3}+a^{3}}{b}=(\frac{a^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a})+(\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{b})+(\frac{b^{3}}{a}+\frac{a^{3}}{b})\geq 2\sqrt{(ac)^{2}}+2\sqrt{(bc)^{2}}+2\sqrt{(ab)^{2}}= 2(ab+bc+ca)$

Cách 2: Đặt $B=\frac{a^{3}+b^{3}}{c}+\frac{b^{3}+c^{3}}{a}+\frac{c^{3}+a^{3}}{b}\geq \frac{ab(a+b)}{c}+\frac{bc(b+c)}{a}+\frac{ca(c+a)}{b}\Leftrightarrow B+(ab+bc+ca)= \frac{ab(a+b)+abc}{c}+\frac{bc(b+c)+abc}{a}+\frac{ca(c+a)+abc}{b}= (a+b+c)(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b})$
Ta có: $\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq 2\sqrt{\frac{abc^{2}}{ab}}= 2a(1)$
Tương tự: $\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\geq 2\sqrt{\frac{ab^{2}c}{ac}}= 2b(2)$ và $\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geq 2\sqrt{\frac{a^{2}bc}{bc}}= 2c(3)$

Từ (1, 2, 3) => $\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geq a+b+c\Rightarrow B+(ab+bc+ca)\geq (a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow B\geq 2(ab+bc+ca)$
Ta dễ dàng chứng minh được: $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\geq 3(ab+bc+ca)\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}-(ab+bc+ca)\geq 0\Leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2(ab+bc+ca)\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq 0$ (Luôn đúng)

(những bài sau đây hầu như đều có ĐK a,b,c (hoặc x,y,z dương (không âm),mình xin không viết lại,các bạn hãy hiểu là ĐK đó đã cho sẵn rồi,các ĐK khác (nếu có )mình sẽ ghi kèm đề )


Bài 60:$\frac{b^3+c^3}{a}+\frac{c^3+b^3}{b}+\frac{a^3+b^3}{c}\geq 2(ab+bc+ca)$


Updating...

Phải sửa đề thành như thế này chứ ạ: $\frac{b^3+c^3}{a}+\frac{c^3+a^3}{b}+\frac{a^3+b^3}{c}\geq 2(ab+bc+ca)$

(những bài sau đây hầu như đều có ĐK a,b,c (hoặc x,y,z dương (không âm),mình xin không viết lại,các bạn hãy hiểu là ĐK đó đã cho sẵn rồi,các ĐK khác (nếu có )mình sẽ ghi kèm đề )


Bài 68 $(a+b+c+d=1) $ $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})(1+\frac{1}{d})\geq 5^4$


Updating...

Đặt $A=1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})(1+\frac{1}{d})= 1+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})+(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ad}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{bd}+\frac{1}{cd})+(\frac{1}{abc}+\frac{1}{acd}+\frac{1}{abd}+\frac{1}{bcd})+\frac{1}{abcd}\geq 1+\frac{(1+1+1+1)^{2}}{a+b+c+d}+6\sqrt[6]{\frac{1}{(abcd)^{3}}}+4\sqrt[4]{\frac{1}{(abcd)^{3}}}+\frac{1}{abcd}$

Ta có: $a+b+c+d\geq 4\sqrt[4]{abcd}\Leftrightarrow (a+b+c+d)^{4}\geq 256.abcd\Rightarrow abcd\leq \frac{(a+b+c+d)^{4}}{256}= \frac{1}{256}$

Vậy: $A\geq 1+16+96+256+256 =5^{4}\Rightarrow dpcm$