Kwon Simonster

(những bài sau đây hầu như đều có ĐK a,b,c (hoặc x,y,z dương (không âm),mình xin không viết lại,các bạn hãy hiểu là ĐK đó đã cho sẵn rồi,các ĐK khác (nếu có )mình sẽ ghi kèm đề )


Bài 60:$\frac{b^3+c^3}{a}+\frac{c^3+a^3}{b}+\frac{a^3+b^3}{c}\geq 2(ab+bc+ca)$

Updating...

Cách 1: Đặt $B=\frac{a^{3}+b^{3}}{c}+\frac{b^{3}+c^{3}}{a}+\frac{c^{3}+a^{3}}{b}=(\frac{a^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a})+(\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{b})+(\frac{b^{3}}{a}+\frac{a^{3}}{b})\geq 2\sqrt{(ac)^{2}}+2\sqrt{(bc)^{2}}+2\sqrt{(ab)^{2}}= 2(ab+bc+ca)$

Cách 2: Đặt $B=\frac{a^{3}+b^{3}}{c}+\frac{b^{3}+c^{3}}{a}+\frac{c^{3}+a^{3}}{b}\geq \frac{ab(a+b)}{c}+\frac{bc(b+c)}{a}+\frac{ca(c+a)}{b}\Leftrightarrow B+(ab+bc+ca)= \frac{ab(a+b)+abc}{c}+\frac{bc(b+c)+abc}{a}+\frac{ca(c+a)+abc}{b}= (a+b+c)(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b})$
Ta có: $\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq 2\sqrt{\frac{abc^{2}}{ab}}= 2a(1)$
Tương tự: $\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\geq 2\sqrt{\frac{ab^{2}c}{ac}}= 2b(2)$ và $\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geq 2\sqrt{\frac{a^{2}bc}{bc}}= 2c(3)$

Từ (1, 2, 3) => $\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geq a+b+c\Rightarrow B+(ab+bc+ca)\geq (a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow B\geq 2(ab+bc+ca)$
Ta dễ dàng chứng minh được: $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\geq 3(ab+bc+ca)\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}-(ab+bc+ca)\geq 0\Leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2(ab+bc+ca)\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq 0$ (Luôn đúng)

(những bài sau đây hầu như đều có ĐK a,b,c (hoặc x,y,z dương (không âm),mình xin không viết lại,các bạn hãy hiểu là ĐK đó đã cho sẵn rồi,các ĐK khác (nếu có )mình sẽ ghi kèm đề )


Bài 60:$\frac{b^3+c^3}{a}+\frac{c^3+b^3}{b}+\frac{a^3+b^3}{c}\geq 2(ab+bc+ca)$


Updating...

Phải sửa đề thành như thế này chứ ạ: $\frac{b^3+c^3}{a}+\frac{c^3+a^3}{b}+\frac{a^3+b^3}{c}\geq 2(ab+bc+ca)$

(những bài sau đây hầu như đều có ĐK a,b,c (hoặc x,y,z dương (không âm),mình xin không viết lại,các bạn hãy hiểu là ĐK đó đã cho sẵn rồi,các ĐK khác (nếu có )mình sẽ ghi kèm đề )


Bài 68 $(a+b+c+d=1) $ $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})(1+\frac{1}{d})\geq 5^4$


Updating...

Đặt $A=1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})(1+\frac{1}{d})= 1+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})+(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ad}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{bd}+\frac{1}{cd})+(\frac{1}{abc}+\frac{1}{acd}+\frac{1}{abd}+\frac{1}{bcd})+\frac{1}{abcd}\geq 1+\frac{(1+1+1+1)^{2}}{a+b+c+d}+6\sqrt[6]{\frac{1}{(abcd)^{3}}}+4\sqrt[4]{\frac{1}{(abcd)^{3}}}+\frac{1}{abcd}$

Ta có: $a+b+c+d\geq 4\sqrt[4]{abcd}\Leftrightarrow (a+b+c+d)^{4}\geq 256.abcd\Rightarrow abcd\leq \frac{(a+b+c+d)^{4}}{256}= \frac{1}{256}$

Vậy: $A\geq 1+16+96+256+256 =5^{4}\Rightarrow dpcm$

Cho x,y,z la cac so thuc duong. CM

$\frac{1}{x\left ( y+1 \right )}+\frac{1}{y\left ( z+1 \right )}+\frac{1}{z\left ( x+1 \right )}\geq \frac{3}{xyz+1}$
____________
Nhập số bài vào lần sau sẽ xoá

Đề: C/m: $\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{abc+1}$

Đặt $a = k\frac{x}{y} , b=k\frac{y}{z},c=k\frac{z}{x} => abc=k^{3}$
Từ giả thiết => cần chứng minh $\frac{1}{k^{2}\frac{x}{z}+k\frac{x}{y}}+\frac{1}{k^{2}\frac{y}{x}+k\frac{y}{z}}+\frac{1}{k^{2}\frac{z}{y}+k\frac{z}{x}}\geq \frac{3}{k^{3}+1}$

Ta xét :
$VT=\frac{yz}{k^{2}xy+kxz}+\frac{xz}{k^{2}yz+kxy}+\frac{xy}{k^{2}zx+kyz} =\frac{(yz)^{2}}{k^{2}(xy)(yz)+k(xz)(yz)}+\frac{(xz)^{2}}{k^{2}(yz)(xz)+k(xy)(xz)}+\frac{(xy)^{2}}{k^{2}(xy)(xz)+k(yz)(yx)}\geq \frac{(yz+xz+xy)^{2}}{(k^{2}+k)(xy^{2}z+x^{2}yz+xyz^{2})}\geq \frac{3}{k^{2}+k}\geq \frac{3}{k^{3}+1}$

Áp dụng bất đặng thức sau để chứng minh: $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$
Dễ dàng chứng minh được: $k^{2}+k\leq k^{3}+1\Leftrightarrow k(k+1)\leq (k+1)(k^{2}-k+1)$
Luôn đúng với mọi k >0

--------------------------------------
P/s: Mình xin lỗi vì lỡ đánh nhầm nên đành sửa x, y , z thành a, b, c nhé bạn

Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của PT
xy=P(x+y) (P là số nguyên tố)

Mình tự chữa bài này vậy, hì hì
- TH1: P = 2 => xy = 2x + 2y
=> 2x + 2y - xy = 0
=> x (2 - y) + 2y = 0
=> x (2 - y) + 2y - 4 = -4
=> (x - 2)(y - 2) = 4 = 1 * 4 = (-1)(-4) = 2 * 2 = (-2)(-2)

- TH2:$P \geq 3$ => P là số lẻ vì P là số nguyên tố
=> $\frac{xy}{x+y}$ là số lẻ
+ Nếu x và y đều là số lẻ => x + y là một số chẵn => loại
+ Nếu x và y đều là số chẵn => loại
+ Nếu trong hai số x và y có một số chẵn và số còn lại là số lẻ => xy là số chẵn => loại

Vậy PT có 6 nghiệm (x ; y) = (0 ; 0) , (3 ; 6) , (4 ; 4) , (1 ; -2) , (6 ; 3) , (-2 ; 1)

Đề thi HSG cấp huyện Tiền Giang năm 1998-1999

Bài 2 : Tìm số nguyên tố p sao cho p+10, p+14 cũng là số nguyên tố

-TH1: P=2 => loại vì P+10 va P+14 chia hết cho 2
-TH2: P=3 => P+10=3+10=13
P+14=3+14=17
Vậy P=3 thỏa mãn
-TH3: P>3, P là số nguyên tố => P không chia hết cho 3
Nếu P=3k+1 => P+14 = 3k+15 (chia hết cho 3=> loại)
Nếu P=3k+2 => P+10 = 3k+12 (Chia hết cho 3 => loại)

Ta kết luận số nguyên tố p cần tìm là 3

Mình là thành viên mới. Mong mọi người giúp đỡ nhiều ạ