Mình làm bài hình nhen, mới tập gõ công thức toán nên có lỗi thì sửa giùm mìnhĐề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên Thái Bình
Năm học 2012-2013
Môn thi: Toán
(Dành cho thí sinh chuyên Toán, Tin)
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,5 điểm)
a) Tính $A=(4+\sqrt{15})(\sqrt{10}-\sqrt{6})\sqrt{4-\sqrt{15}}$
b) Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2+1=2(x+y)\\
y(2x-y)=2y+1
\end{matrix}\right.$$
Bài 2: (1,5 điểm)
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm GTNN của biểu thức:
$$P=\frac{a}{3+b-a}+\frac{b}{3+c-b}+\frac{c}{3+a-c}$$
Bài 3: (2,0 điểm)
Cho $m,n$ là hai số nguyên dương thỏa mãn $m+n-1$ là số nguyên tố và $m+n-1$ là một ước của $2(m^2+n^2)-1$
Chứng minh $m=n$
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhon nội tiếp (O). Đường tròn tâm J đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E,F. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và AEF. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF>
Chứng minh rằng:
a) Tiếp tuyến tại A của (O) song song với EF
b) Ba điểm A,I,H thẳng hàng
c) KH, EF, IJ đồng quy
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. CD là một dây cung của nửa đường tròn (A,B,C,D là bốn điểm phân biệt). M là điểm bất kì di động trên cung nhỏ CD, gọi I, J lần lượt là giao điểm của MA, MB với dây cung CD.
Xác định vị trí của điểm M để đoạn IJ có độ dài lớn nhất
a) Gọi $Ax$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $O$ tại $A$ ($Ax$ nằm về nửa mặt phẳng bờ $AC$ không chứa $B$)
Ta có $\widehat{ABC}=\widehat{CAx}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng số đo góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)
Tứ giác $BEFC$ nội tiếp được (dễ dàng chứng minh), nên $\widehat{ABC}=\widehat{AFE}$ (cùng bù với $\widehat{EFC}$)
Vậy $\widehat{CAx}=\widehat{AFE}$, suy ra điều phải chứng minh.
b) Tứ giác $AEHF$ nội tiếp được nên đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFE$ cũng đi qua điểm $H$
Mặt khác $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFE$ nên $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AEHF$
Ta có tam giác $AEH$ và tam giác $AFH$ là 2 tam giác vuông và tứ giác $AEHF$ nội tiếp nên $I$ là trung điểm của $AH$ vậy $A$, $I$, $H$ thẳng hàng.
c) Ta có $IE=IF$ (bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AEHF$) và $JE=JF$ (bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BEFC$) nên $IJ$ là đường trung trực của $EF$ hay $IJ$ đi qua trung điểm của $EF$
Vì $K$ là trực tâm của tam giác $AFE$ nên $EK\perp AC$, $BF\perp AC$ nên $EK//BF$. Chứng minh tương tự ta được $CE//IF$ nên tứ giác $KFHE$ là hình bình hành. Suy ra $KH$ đi qua trung điểm của $EF$.
Vậy $IJ$, $EF$, $KH$ đồng quy.
- perfectstrong, L Lawliet, Poseidont và 2 người khác yêu thích