BearBean

Xin lỗi mọi người em đánh sai đề , đúng phải là : 

 

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$ chứng minh :

 

$\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Cảm ơn bạn nhiều, mình sửa lại bài làm rồi,bạn xem qua xem đúng không !

Giải:
Ta có : $f(x)=ax^{2}+bx+c$ thoả mãn $f(x)\in \mathbb{Z}$ với mọi $x\in \mathbb{Z}$.
nên thay $x=0$ thì $f(x)\in \mathbb{Z}$ suy ra $c$ là số nguyên.
thay $x=1$ $(=)a+b+c\in \mathbb{Z}$ $(=)a+b\in \mathbb{Z}$ (vì $c$ nguyên). (1)
thay $x=-1$ $(=)a-b+c\in \mathbb{Z}$ $(=)a-b\in \mathbb{Z}$ (2)
gộp (1) và (2)
$2a\in \mathbb{Z}$ và $2b\in \mathbb{Z}$
Đặt $2a= k$ $(=)a= \frac{k}{2}$ (với $k\in \mathbb{Z}$)
$f(x)=ax^{2}+bx+c$
$(=)f(x)=a(x^{2}-x)+x(a+b)+c$
$(=)f(x)=ax(x-1)+x(a+b)+c$
Mà $x(x-1)\vdots 2$ đặt $x(x-1)=2m$ (với $m\in \mathbb{N}$)
$(=)f(x)=\frac{k}{2}2m+x(a+b)+c$
$(=)f(x)=km+x(a+b)+c$ (luôn nguyên).
Với $k$ lẻ thì $a$ sẽ không nguyên nhưng $f(x)$ vẫn nguyên .
Vậy không nhất thiết $a,b,c$ phải nguyên.

ĐỀ 1 HÀ NỘI -AMSTERDAM VÀ CHU VĂN AN NĂM 1989-1990

Em xin giải bài 3 trước :
Ta có : $n=8k+7\equiv 7(mod$ $8)$.
Giả sử $n=a^{2}+b^{2}+c^{2}$ mà một số chính phương chia cho 8 được số dư có thể là 0,1,4 thử với các trường hợp thì thấy $a^{2}+b^{2}+c^{2}\equiv [1;4;0;5;6;3](mod$ $8)$ nên suy ra không thể biểu diễn n thành tổng của 3 số chính phương.

Cái này làm sao bằng được ạ: $\frac{k}{k+k^{2}+k^{4}}\neq \frac{k}{(k^{2}+1)^{2}-k^{2}}$