BearBean

Tìm $n\in\mathbb{N}$ để $n^{3}-4n^{2}-2n+15$ là một số nguyên tố

 

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn : $x^{2013}+y^{2013}+z^{2013}=3$

Tìm max của : $M=x^2+y^2+z^2$

Cảm ơn bạn nhiều, mình sửa lại bài làm rồi,bạn xem qua xem đúng không !

Giải:
Ta có : $f(x)=ax^{2}+bx+c$ thoả mãn $f(x)\in \mathbb{Z}$ với mọi $x\in \mathbb{Z}$.
nên thay $x=0$ thì $f(x)\in \mathbb{Z}$ suy ra $c$ là số nguyên.
thay $x=1$ $(=)a+b+c\in \mathbb{Z}$ $(=)a+b\in \mathbb{Z}$ (vì $c$ nguyên). (1)
thay $x=-1$ $(=)a-b+c\in \mathbb{Z}$ $(=)a-b\in \mathbb{Z}$ (2)
gộp (1) và (2)
$2a\in \mathbb{Z}$ và $2b\in \mathbb{Z}$
Đặt $2a= k$ $(=)a= \frac{k}{2}$ (với $k\in \mathbb{Z}$)
$f(x)=ax^{2}+bx+c$
$(=)f(x)=a(x^{2}-x)+x(a+b)+c$
$(=)f(x)=ax(x-1)+x(a+b)+c$
Mà $x(x-1)\vdots 2$ đặt $x(x-1)=2m$ (với $m\in \mathbb{N}$)
$(=)f(x)=\frac{k}{2}2m+x(a+b)+c$
$(=)f(x)=km+x(a+b)+c$ (luôn nguyên).
Với $k$ lẻ thì $a$ sẽ không nguyên nhưng $f(x)$ vẫn nguyên .
Vậy không nhất thiết $a,b,c$ phải nguyên.

ĐỀ 1 HÀ NỘI -AMSTERDAM VÀ CHU VĂN AN NĂM 1989-1990

Em xin giải bài 3 trước :
Ta có : $n=8k+7\equiv 7(mod$ $8)$.
Giả sử $n=a^{2}+b^{2}+c^{2}$ mà một số chính phương chia cho 8 được số dư có thể là 0,1,4 thử với các trường hợp thì thấy $a^{2}+b^{2}+c^{2}\equiv [1;4;0;5;6;3](mod$ $8)$ nên suy ra không thể biểu diễn n thành tổng của 3 số chính phương.

Cái này làm sao bằng được ạ: $\frac{k}{k+k^{2}+k^{4}}\neq \frac{k}{(k^{2}+1)^{2}-k^{2}}$

Hình như đề sai rồi anh ơi thử với $a=1 , b=2$ thì $a+\frac{1}{b(a-b)^{2}}=1,5$$< 2\sqrt{2}$

Giải:
Ta có : $x^{2}+2x-4=11y$
$(=)(x+1)^{2}-5=11y$
Vì phương trình có nghiệm nguyên nên $(x+1)^{2}-5\vdots 11$
$=> x = 11k+4$ hoặc $x = 11k+7$ thì $(x+1)^{2}-5\vdots 11$
Vậy mỗi giá trị của k ta tìm được một cặp nghiệm.

P.S: Em không chắc lắm

Em xin sửa lại đề không biết đúng không:
CMR: $\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}$$=\sqrt{2}$

E xin giải luôn:

$\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}$
$=\sqrt{2}(\frac{3+\sqrt{3}-1}{2+\sqrt{4+2\sqrt{3}}}+\frac{3-\sqrt{3}-1}{2-\sqrt{4-2\sqrt{3}}})$
$=\sqrt{2}(\frac{3+\sqrt{3}-1}{3+\sqrt{3}}+\frac{3-\sqrt{3}-1}{3-\sqrt{3}})$
$=\sqrt{2}(2-\frac{1}{3+\sqrt{3}}-\frac{1}{3-\sqrt{3}})$
$=\sqrt{2}$

P.S: post chậm

Cách của em sai ạ! Em đã chỉnh lại rồi

Em không chắc là đúng nhưng post nên sai chỗ nào mọi người chỉnh sửa giúp em nhá!
Giải:
Đặt $\sqrt{x}-1 = a$ ta được $\frac{4a+8}{a^{2}}$ là số nguyên
Đặt $\frac{4a+8}{a^{2}} = k $ ( k là số tự nhiên khác 0 ) ta có $a^{2}k-4a-8=0$ mà $a\geq -1$
nên ta tìm được $k\geq 5$.
Vậy mỗi giá trị $k\geq 5$ thỏa mãn thì ta tìm được x.


P.S: sr em viết nhầm chỉnh lại đúng phải là $a\geq -1$

Bài 1:

A=$\frac{\sqrt{15}+\sqrt{55+30\sqrt{2}}-\sqrt{25+10\sqrt{6}}}{\sqrt{2}+\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{7+2\sqrt{10}}}$
=$\frac{\sqrt{15}+3\sqrt{5}+\sqrt{10}-\sqrt{15}-\sqrt{10}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}+1-\sqrt{5}-\sqrt{2}}$
=$3\sqrt{5}$

Giải phương trình nguyên: $(x+y\sqrt{5})^{z}=\sqrt{1+\sqrt{5}}$

Chứng minh rằng nếu tồn tại số nguyên dương x thỏa mãn $\frac{(x+1)(2x+1)}{2012}$ là một số chính phương thì x là hợp số

$\textbf{@NLT_CL}$ Chú ý: Công thức phải kẹp giữa 2 thẻ $$