phata1pvd

2)PT đã cho tương đương $\sqrt{3x^{2}-6x-5}=(x^2-4x+4)\sqrt{2-x}+(2x^2-x-10)\sqrt{2-x}$

$<=> \sqrt{3x^{2}-6x-5}=(3x^2-5x-6)\sqrt{2-x} (1)$

Đặt $ \sqrt{3x^{2}-6x-5}=a$ và $\sqrt{2-x}=b$

PT $(1)$ có thể viết thành :

$a=(a^2-b^2+1)b \Leftrightarrow (a-b)(b^2+ab-1)=0$

+)Nếu $a=b$ thì $\sqrt{3x^{2}-6x-5}=\sqrt{2-x}$...

+)Nếu $b^2+ab=1$ thì $\sqrt{2-x}(\sqrt{2-x}+\sqrt{3x^2-6x-5}=1$

$\Leftrightarrow \sqrt{(2-x)(3x^2-6x-5)}=x-1 (2)$.Kết hợp với điều  kiện suy ra $2 \geq x \geq 1$

Bình phương 2 vế $(2)$ ta được :

$3x^3-11x^2+5x+11=0$ với $2 \geq x \geq 1$

Khảo sát hàm số $f(x)=3x^3-11x^2+5x+11=0$ trên đoạn $[1:2]$,ta sẽ thây phương trình vô nghiệm.

Bài a) ĐKXD : $x \geq 1$ hoặc $0 \geq x \geq -1$

Để ý :$(x-\dfrac{1}{x})-(1-\dfrac{1}{x})=x-1$.Suy ra phương trình tương đương:

Hoặc $\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}-\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}=0  (1)$ hoặc $\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}=1   (2)$

Ta có :$(1) <=>x=1$

$(2) <=> \sqrt{1-\dfrac{1}{x}}=1-\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}$

Bình phương hai vế phương trinh,ta được:

$x=2\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}$.Bình phương 2 vế,kết hợp với điều kiện ta có:

$\left\{\begin{matrix}x \geq 1 & \\x^2=4(x-\dfrac{1}{x})\\ & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \geq 1 & \\x^3-4x+4=0\\ & \end{matrix}\right.$

Bài 4:$\left\{\begin{matrix} (3x+y)(3y+x)\sqrt{xy}=14\\ (x+y)(x^{2}+y^{2}+14xy)=36 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (3(x+y)^{2}+4xy)\sqrt{xy}=14\\ (x+y)((x+y)^{2}+12xy)=36 \end{matrix}\right.$

Đặt $\sqrt{xy}=a$ và $x+y=b$.HPT trở thành:

$\left\{\begin{matrix} a(3b^{2}+4a^{2})=14\\ b(b^{2}+12a^2)=36 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 36(3ab^{2}+4a^{3})=14(b^{3}+12a^{2}b) \Leftrightarrow (6a-b)(24a^{2}-24ab+14b^{2})=0$

$\Leftrightarrow 6a=b$.Đến đây đơn giản rồi!

Bài 2:$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=2(1)\\ \sqrt{x^{2}+y^{2}}-\sqrt{x^{2}-y^{2}}=4(2)\end{matrix}\right.$

Bình phương 2 vế PT $(1)$ ta được$ 2x-2\sqrt{x^{2}-y^{2}}=4 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-y^{2}}=x-2 (*)$

Thế vào PT $(2)$ ta được $\sqrt{x^{2}+y^{2}}=x+2 \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=x^{2}+4x+4 \Leftrightarrow y^{2}=4x+4$

Thế vào (*) thấy PT vô nghiệm.???

Mình cũng chả biết dấu $=$ xảy ra khi nào nữa!

Giải HPT:$\left\{\begin{matrix}(x+y)\sqrt{2xy+5}=4xy-3y+1 & \\ (x+2y)\sqrt{2xy+5}=6xy+x-7y-6&\end{matrix}\right.$

$$\color{plum}{\begin{array}{||} \hline \boxed{\text{Bài toán}} \; \text{Cho} a;b;c \in \mathbb{R}^+ \text{và}       a+b+c=1 \\ \text{Chứng minh:} \sum \frac{a}{4b^2+1} \geq (\sum a\sqrt{a})^2\\ \hline \end{array}}$$

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz ta có:

$\sum \frac{a}{4b^2+1} \geq \dfrac{(\sum a\sqrt{a})^2}{a^{2}(4b^{2}+1)+b^{2}(4c^{2}+1)+c^{2}(4a^{2}+1)}$

Vậy ta cần chứng minh $4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2} \leq 1$

                                $\Leftrightarrow 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2} \leq (a+b+c)^{2}$

                                $\Leftrightarrow 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}) \leq 2(ab+bc+ca)$

                                $\Leftrightarrow 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}) \leq 2(ab+bc+ac)(a^{2}+b^{2}+c^{2} +2ab+2bc+2ca)$

                                $\Leftrightarrow 4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}) \leq 2(ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4(ab+bc+ca)^{2}$

                                $\Leftrightarrow 0 \leq 2(ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})+8abc(a+b+c)$

Hiển nhiên BDT cuối đúng,từ đó ta có đpcm.

Bài 2:$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( {2 - \sin 3x} \right)$

$\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin(x+\dfrac{\pi}{4})=\sqrt{2} \left( {2 - \sin 3x} \right)$

$\Leftrightarrow \sin(x+\dfrac{\pi}{4})+\sin3x =2$ $\Rightarrow \sin(x+\dfrac{\pi}{4})=1$ và $\sin(3x)=1$...

PT sau tương đương $x(\sqrt{x^{2}+3}-x)+y(\sqrt{y^{2}+6}-y)=2$$\Leftrightarrow x\dfrac{3}{\sqrt{x^{2}+3}+x}+y\dfrac{6}{\sqrt{y^{2}+6}+y}=2$

$\Leftrightarrow \dfrac{3}{\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}}{x}+1}+\dfrac{6}{\dfrac{\sqrt{y^{2}+6}}{y}+1}=2$

Chia 2 vế PT đầu cho $xy$ được $\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}}{x}+\dfrac{\sqrt{y^{2}+6}}{y}=7$

Đặt $\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}}{x}+1=a$ và $\dfrac{\sqrt{y^{2}+6}}{y}+1=b$ ta có HPT

$\left\{\begin{matrix} a+b=9 & & \\ \dfrac{3}{a}+\dfrac{6}{b}=2& & \end{matrix}\right.$Từ đây giải đơn giản thôi.

ĐKXD $x\geq1$.Ta có $x^{2}+x+1\geq \dfrac{3}{4} \Rightarrow  \sqrt{2(x^{2}-x+1)} \geq \sqrt{\dfrac{3}{2}} >1$
$\Rightarrow 1-\sqrt{2(x^{2}-x+1)} \leq 0$.Suy ra BPT tương đương:
$x-\sqrt{x} \leq 1-\sqrt{2(x^{2}-x+1)} \Leftrightarrow \sqrt{2(x^{2}-x+1)} \leq\sqrt{x}+1-x$

Suy ra $2(x^{2}-x+1) \leq (\sqrt{x}+1-x)^{2}$

Để ý $2(x^{2}-x+1) \leq (\sqrt{x}+1-x)^{2} \Leftrightarrow 2((1-x)^{2}+x) \leq (1-x)^{2}+2\sqrt{x}(1-x)+x \Leftrightarrow ((1-x)-\sqrt{x})^{2} \leq 0$

Suy ra $x+\sqrt{x}-1=0$....Từ đó tìm được nghịệm của Bpt.

Pt đầu là
\[ \left (2\sqrt{x^2+1}-1\right )(2y-\sqrt{x^2+1}-1)=0\\
\iff \sqrt{x^2+1}=2y+1\\
\Longrightarrow x^2=4y^2+4y
\]

Lúc này pt cuối là
\[ 16y^2(y+1)^2+4y^2(y+1)+y^2-1=0. \]

Bạn nhầm cái đoạn đó rồi!Mình sửa lại.

$\sqrt{x^{2}+1}=2y-1 \Rightarrow y \geq\dfrac{1}{2}$ và $ x^2=4y^{2}-4y  (1)$ $\Rightarrow y \geq 1$.Thế $(1)$ vào pt sau ta được 

$x^{4}+(4y^{2}-4y)y+y^{2}=1 \Leftrightarrow x^4+(y-1)(4y^{2}+y+1)=0$

$\Rightarrow x=0$ và $y=1$ vì $y \geq1$ và $4y^{2}+y+1 \geq0$

Giải PT: $x^{3}+4x=4x\sqrt{x^{3}+1}$

Giải:

ĐKXĐ $x \geq0$.Kiểm tra thấy $x=0$ không là nghiệm của phương trình,ta chia ca 2 vế cho $x$,rồi đặt $y=\dfrac{1}{x} \geq0$,ta được pt:

         $\sqrt{2+y+y^{2}}+\sqrt{1-y+y^{2}}=3$

$<=>\sqrt{2+y+y^{2}}-2+\sqrt{1-y+y^{2}}-1=0$

$<=>\dfrac{(y-1)(y+2)}{\sqrt{2+y+y^{2}}+2}+\dfrac{y(y-1)}{\sqrt{1-y+y^{2}}+1}=0$

$<=>y=1 $   hoặc $\dfrac{y+2}{\sqrt{2+y+y^{2}}+2}+\dfrac{y}{\sqrt{1-y+y^{2}}+1}=0.$ $(1)$.

Dễ thấy PT $(1)$ vô nghiệm với $y\geq0$.Vậy $y=1 \Rightarrow x=1.$

Câu 4:Áp dụng BĐT AM-GM ta có $\sqrt{b^{3}+1}= \sqrt{(b+1)(b^{2}-b+1)} \leq \dfrac{b^{2}+2}{2}$

$\Rightarrow \sum a\sqrt{b^3+1}\leq \sum\dfrac{a(b^{2}+2)}{2}$

Vậy ta cần chứng minh $\sum\dfrac{a(b^{2}+2)}{2} \leq 5 <=> \sum ab^{2} \leq 4$ với $a+b+c=3$.

Ta đi chứng minh BĐT quen thuộc  là $ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc \leq 4$ với $a+b+c=3$

Ta chứng minh được $ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc \leq a^{2}b+bc^{2}+2abc=b(a+c)^{2}=\dfrac{2b(a+c)(a+c)}{2} \leq \dfrac{(2(a+b+c))^{3}}{54}=4$

Từ đó ta co đpcm.Dấu $=$ xảy ra khi $a=2,b=1,c=0$ và các hoán vị.

Mình giải tiếp nha!

$A=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{3-x}+1}-3x+1=0$

$<=>\dfrac{1}{\sqrt{x-1}+1} +1=\dfrac{1}{\sqrt{3-x}+1}+3x$ $(1)$

Chú ý điều kiện xác định là $3 \geq x \geq 1$.Với điều kiện này ta có

$2 \geq \dfrac{1}{\sqrt{x-1}+1} +1 \geq \dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+1$

và $10 \geq \dfrac{1}{\sqrt{3-x}+1}+3x \geq 3+\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}$

nên PT $(1)$ vô nghiệm.Vậy Phương trình đã cho có  nghiệm duy nhất là $x=2$.