nhuquynhdinh

2 Điều này là sao bạn :|
Nếu là (I) ngoại tiếp , (O) nội tiếp thì :
Hình vẽ thể hiện ngay cái sai đề :|

sorry bạn, mình đã sửa lại đề rồi

Tìm min của:
$B=\frac{b}{c+d}+\frac{c}{a+b}$ với $b+c\geq a+d$, b,c>0, $a,d\geq 0$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a + b \geq c + d$
Từ giả thiết $\Rightarrow b+c\geq \frac{a+b+c+d}{2}$
Ta có $B = \frac{b}{c+d}+\frac{c}{a+b}=\frac{b+c}{c+d}- (\frac{c}{c+d}-\frac{c}{a+b})\geq \frac{a+b+c+d}{2(c+d)}- (\frac{c+d}{c+d}-\frac{c+d}{a+b})$
Đặt $a+b=x, c+d=y$ $(x\geq y> 0)$ ta có :
$B\geq \frac{x+y}{2y}-\frac{y}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x}{2y} +\frac{1}{2} -1 +\frac{y}{x}\geq 2\sqrt{\frac{x}{2y}.\frac{y}{x}}-\frac{1}{2}= \sqrt{2} - \frac{1}{2}$
Vậy min $B=\sqrt{2}-\frac{1}{2}\Leftrightarrow d=0, a+b=\sqrt{2}(c+d), b+c=a+d$

Đặt $a=1+x ;$ $b=\sqrt{x^{2} -1}$ $\Rightarrow a^{2} -b^{2} = x^{2} + 2x + 1 - x^{2} +1 = 2a$ $\Rightarrow b^{2} = a^{2}-2a$
theo pt : $(a-b)^{3} + (a+b)^{3} = 2a(3b^{2}+a^{2})=2a(4a^{2}-6a)=16$
$\Rightarrow 8a^{3} -6a^{2}-16=0$ (1)
Giải phương trình (1) được $a=2 \Rightarrow x=1$
Haizzz....... Chậm nữa rồi

Cho n là số nguyên dương lẻ, u là 1 ước nguyên dương lẻ của $3^{n}+1$. Tìm số dư của u khi chia cho 3.

Vì n lẻ nên ta có :
$3^{n} + 1$ = $(3 + 1).(3^{n-1} + 3^{n-2} + ... + 3 + 1)$ = $4.(3^{n-1} + 3^{n-2} + ... + 3 + 1)$ = 2.k.u ( Vì u là ước lẻ ) (k > 0)
Nếu u = 1 thì u chia 3 dư 1
Nếu u $\neq$ 1 thì 4 không chia hết cho u
$\Rightarrow$ $3^{n} + 1 = 4. (3^{n-1} + 3^{n-2} + ... +3 + 1) = 4. u$
$\Rightarrow$ $3^{n-1} + 3^{n-2} + ...+ 1 = u$
Mà $3^{n-1} + 3^{n-2} + ...+ 1$ chia 3 dư 1
$\Rightarrow$ u chia 3 dư 1
Vậy số dư của u khi chia cho 3 là 1

Ta có : $x^{15} + y^{15} + z^{15} = (x^{5})^{3} + (y^{5})^{3} + (z^{5})^{3}$
Mà lập phương của 1 số nguyên chỉ có thể dư 0; 1; 8. Do đó vế trái của phương trình chia cho 9 chỉ có thể dử 0; 1; 2; 3; 6; 7; 8. (1)
Xét vế phải của phương trình ta có:
$19^{2003} + 7^{2003} + 9^{2003} = 19^{2003} - 1 + 7^{2003} + 1 + 9^{2003}
= 9.2.M_{a} + 9^{2003} + 7^{2003} + 1$
Mà $7^{3} \equiv 1 (mod 9)
\Rightarrow (7^{3})^{667} \equiv 1 ( mod 9)$
Lại có : $7^{2}\equiv 4 (mod 9) \Rightarrow 7^{2001}. 7^{2} \equiv 1.4 ( mod 9)$
Hay $7^{2003}$ chia 9 dư 4
$\Rightarrow$ $7^{2003} +1$ chia 9 dư 5 ( 2 )
từ (1) và (2) $\Rightarrow$ phương trình không có nghiệm nguyên