nvhmath

$\begin{cases} S=\sum_{i=0}^{2013} (i+1)\cdot 3^i \\ \Rightarrow 3S=\sum_{i=1}^{2014} i\cdot 3^i \end{cases}\Rightarrow 2S=-1-\sum_{i=1}^{2013} 3^i + 2014\cdot 3^{2014}=-1-\frac{3^{2014}-3}{2}+2014\cdot 3^{2014}$

Giả sử ngược lại, tức là $n|2^n-1$. Theo định lý Euler: $n|2^{\Phi(n)}-1$. Ta có $\Phi(n)<n$, do đó $\Phi(n)|n$ <*>
Biểu diễn $n=\prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i}$, khi đó $\Phi(n)=\prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i-1}\cdot \prod_{i=1}^n (p_i-1)$, $\frac{n}{\Phi(n)}$ không là số nguyên.
Do đó $\Phi(n)\nmid n$, mâu thuẫn với <*>. Vậy ta có đpcm.

Ta có: $350 +7bc\geq 106b$ do $350+7bc\geq 350+7b(b+1)=7b^2+7b+350\geq 106b$ đúng do $7b^2-99b+350\geq 0$ với $b\in \mathbb{Z}$.
$\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{c}{d}\geq \frac{1}{b}+\frac{c}{50}\geq \frac{106}{350}=\frac{53}{175}$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $(a,b,c,d)=(1,7,8,50)$.

Nếu $p=2$ thì $n=3$ và $p=3$ thì $n=11$ hoặc là với $p=3$ thì $\frac{p-1}{2}=1$ và với hai trường hợp này không thể có khai triển như dòng đầu tiên, đều không thỏa mãn, nhưng với $3<p\in \mathbb{P}$ thì thỏa mãn, rõ ràng.

Ta có: $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k}=(1+\frac{1}{p-1})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{p-2})+...+(\frac{1}{\frac{p-1}{2}}+\frac{1}{\frac{p+1}{2}})$
$=p(\frac{1}{1\cdot (p-1)}+\frac{1}{2(p-2)}+...+\frac{1}{\frac{p-1}{2}\cdot \frac{p+1}{2}})=\frac{p\cdot A}{(p-1)!}$
Do $gcd(p,(p-1)!)=1$ nên khi rút gọn tối giản $p(\frac{A}{(p-1)!})$ ta được $\frac{p\cdot B}{C}=\frac{n}{m}\Rightarrow p\cdot B=n\Rightarrow p|n$.