lamtran

Ta có:
A=$x^{4}+y^{4}+x^{4}y^{4}+1$
=$\left ( 10-2xy \right )^{2}-2x^{2}y^{2}+x^{4}y^{4}+1$(vì x+y=$\sqrt{10}$-gt)
=$x^{4}y^{4}+2x^{2}y^{2}-40xy+101$
=$\left ( x^{2}y^{2}-4 \right )^{2}+10\left ( xy-2 \right )^{2}+45\geq 45$
Vậy Min A=45$\Leftrightarrow xy=2 và x+y=\sqrt{10}$$\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}; y=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$ hoặc $x=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$; $y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$

áp dụng BĐT cô-si ta có :
$a^{4}+a^{4}+a^{4}+1\geq 4a^{3}\Leftrightarrow 3a^{4}+1\geq 4a^{3}$
CMTT : $3b^{4}+1\geq 4b^{3}$
$3c^{4}+1\geq 4c^{3}$
$\Rightarrow 3a^{4}+3b^{4}+3c^{4}\geq 3a^{3}+3b^{3}+3c^{3} + (a^{3}+b^{3}+c^{3}-3) \geq 3(a^{3}+b^{3}+c^{3}$
(do $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3$ ) => ĐPCM ,dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1

Mình nghĩ là chỗ in đỏ nên sửa lại như sau:
$a^{4}+a^{4}+a^{4}+1\geq 4\sqrt[4]{a^{12}}=4\left | a^{3} \right |\geq 4a^{3}$ vì a không có điều kiện không âm.

1.Cho các số thực dương a,b,c.Cmr: $ \left ( 1+\frac{1}{a} \right )^{4}+\left ( 1+\frac{1}{b} \right )^{4}+\left ( 1+\frac{1}{c} \right )^{4}\geq 3\left ( 1+\frac{3}{2+abc} \right )^{4}$
2. Cho x,y,z$\ \geq$0 thỏa mãn: x+y+z$ \leq$3
Tìm max A=$\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+y^{2}}+\sqrt{1+z^{2}}+3(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$

giải phương trình nghiệm nguyên: $ x^{2}y^{2}-x^{2}-8y^{2}=2xy$

Nếu là min thì dễ rồi. Đề của mình là max cơ.

Giả sử a,b,c là những số thực thỏa mãn $a,b,c \neq 0$, và $a+b+c= \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$
CMR :$\ \frac{a^{6}+b^{6}+c^{6}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}=abc$

Tìm $GTNN$ của $P= \frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}$ với a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác.
L: Chú ý cách đặt tiêu đề, post bài đúng box BĐT cực trị, viết hoa đầu dòng và công thức được kẹp giữa dấu: $$ nhé bạn ^^