uyenha

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) . K là giao điểm của hai đường chéo AC và BD(K khác O). Gọi  $M_{1}$,$M_{2}$,$M_{3}$,$M_{4}$ lần lượt là trung điểm các cung AB, BC, CD, DA không chứa hai đỉnh còn lại của tứ giác. Gọi $I_{1}$,$I_{2}$,$I_{3}$,$I_{4}$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABK,BCK,CDK,DAK.
a) Chứng minh 4 đường thẳng $MI_{i}$  (i=1,2,3,4) cùng đi qua một điểm P.
b) Chứng minh  P thuộc dường thẳng OK.

 

 

ABCD nội tiếp (O).AD giao BC ở E,AC giao BD ở F.FE cắt AB ,CD ở  G,H.M,N là trung điểm AB,CD.Q,R là trung điểm MG,NH.(CDQ) cắt AB ở S,(ABR) cắt CD ở T.CM  ST đi qua trugn điểm EF.

 

 

Cho đường tròn (O) tiếp xúc với 2 đường thẳng a,b.1 đường tròn ($C_{1}$) tiếp xúc với a tại A (A gần giao điểm a và b hơn là điểm tiếp xúc của (O) với a ) và tiếp xúc ngoài với (O) tại C.Đường tròn ($C_{2}$) tiếp xúc với b tại B và tiếp xúc ngoài với (O) tại D và tiếp xúc với ($C_{1}$) tại E.AD cắt BC ở Q.

CMR Q là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CDE.  

 

Cho tam giác ABC nội tiếp (O).Lấy P bất kì trên đường thẳng BC(khác B,C) .(O) cắt AP ở AP ở N và đường tròn đường kính AP ở E(N,E khác A).CMR MN luôn đi qua điểm cố định khi P di chuyển .

 

Cho một bàn cờ 4.50.Một con mã đứng ở ô sát cạnh bàn cờ và đi theo đường chéo hình chữ nhật 2.3.Hỏi có tồn tại hay không một đường đi của quân mã liên tiếp qua tất cả các ô của bàn cờ mỗi ô 1 lần hay không?

 

a ơi,với n=1,2 thì chỉ càn số 1,-1 là đủ nhưng tới n=3 thì cần phải xuất hiện số 3 hoặc -3 mới có thể thiết lập dc(-1,2,-1,-2,3,-2,số 1 ở giữa),..;hình như e thấy rong cách giải của a s toàn thấy dùng số 1,-1 k vậy?
 

Trên mặt phẳng cho n đường thẳng đôi một cắt nhau và không có 3 đường nào đồng quy.CMR trong mỗi miền mà các đường thẳng đó chia ra thể đặt 1 số nguyên thuộc (-n,n)/0 sao cho tổng các số được viết ở mỗi phía của 1 đường thẳng bất kỳ luôn bằng 0

Trong các ô của 1 bảng cỡ n.n đặt 1 cách tuỳ ý các số nguyên từ 1 đến $n^{2}$ .Xét khẳng định sau:

'Luôn tìm được hai ô có cạnh chung sao cho hiệu của 2 số nằm ở 2 ô đó lớn hơn 5'
1)CMR khẳng định đúng với n=10
2)CMR khẳng định đúng với n>10

3)CMR khẳng định đúng với n =9

4)CMR khẳng định sai với n=5

5)Xét tính đúng sai với n=6,7,8.

 

Trong một kì thi học sinh giỏi,các thí sinh phải giải 6 bài toán.Biết rằng với 2 bài toán bất kì luôn có nhìu hơn $\frac{2}{5}$ số thí sinh dự thi giải được cả 2 bài toán này.Ngoài ra không có thí sinh nào giải được cả 6 bài
a)CMR tồn tại 3 bài toán có nhiều hơn $\frac{1}{5}$ thí sinh dự thi giải được

b)CMR tồn tại 4 bài toán có nhiều hơn $\frac{1}{15}$ thí sinh dự thi giải được

 

cho số nguyên dương n>10.Tìm m nguyên dương lớn nhất thoả mãn điều kiện:Tồn tại m tập con $A_{i}$ của tập A={1,2,3....,2n},mỗi tập con gồm n phần tử sao cho $\left | A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k} \right |\leq 1$ với mọi $1\leq i< j< k\leq n$

Một số bài toán dãy số VMO:

Khảo sát sự hội tụ của các dãy (x_n):

1. $0<x_0<1,x_{n+1}=1+(-1)^{n}\sqrt{1+x_{n}},n\geq 0$

2. $x_0 >0 ,x_{n+1}=\sqrt{x_{n}+\sqrt{x_{n-1+...+\sqrt{x_{0}}}}},n\geq 0$

3.$x_0=1,x1=a; x_{n+2}=\sqrt[3]{x_{n+1}^{2}x_{n}},n\geq 0$

4.Với mỗi cặp số thực $(a,b)$, xét dãy $(x_n)$ xác định bởi: $x_1=a$; $x_{n+1}=x_{n}+bx_{n}$ với mọi n tự nhiên.
CMR với mỗi số thực $b>2$ cho trước thì tồn tại số thực a sao cho dãy (x_n) tương ứng không có giới hạn hữu hạn khi $n \to \infty$

5.Cho số thực a,xét dãy $(x_n)$ là số tự nhiên xác định bởi:.$x_0=a$; $x_{n}=\frac{4}{\pi }(arccosx_{n-1}+\frac{\pi }{2}) arcsinx_{n-1}$
Tìm $lim{ x_{n}}$
___

giải phương trình $\frac{1}{2^{x}+1}+\frac{1}{3^{x}+1}+\frac{1}{10^{x}+1}=\frac{3}{4^{x}+1}$

cho A=$\left \{ 1;2;3;...;n \right \};n$ nguyên dương.Tìm số bộ k phần tử $\left ( a_{1},a_{2},...a_{k}, \right )$ với $a_{i}$ thuộc A,i=1,..k, thỏa mãn
1.$a_{i}< a_{j}$(với mọi i<j;i,j=1,2,..k)
2.$a_{i}$-i chia hết cho 3(với mọi i=1,2,..k)

áp dụng cho 2k-1 số,thì số số hạng áp dụng này phải là số nguyên dương,vd như cho 2 số,3 số chứ làm gì cho 2,5;4,9 số thì không có,tuy nhiên nếu áp dụng am-gm mở rộng thì chọn hệ số thực trước các biến thì giải được

ý tưởng giải của em khá hay ,tuy nhiên chỗ áp dụng AM-GM cho 2k-1 số lại sai vì ở đây k là số thực,cho nên ta giải bài toán chặt hơn đó như sau
theo AM-GM ta có $\frac{x^{k}}{x+y}+\frac{(x+y)x^{k-2}}{4}\geq x^{k-1}$,tương tự cho các số hạng còn lại,do đó chỉ cần CM $\sum yx^{k-2}\leq \sum x^{k-1}$ là xong,áp dụng bdt xếp lại với $x\geq y\geq z$ và $x^{k-1}\geq y^{k-1}\geq z^{k-1}$ suy ra dpcm