o0o Math Lover o0o

Cho $\Delta ABC$ vuông tại A ($AB<AC$), đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm D sao cho $HD=HA$, từ D vẽ đường thẳng song song với AH gặp AC tại E. Gọi M là trung điểm BE.
C/m: $AH.BM=AB.HM+AM.BH$

Mấy anh cho em hỏi là khi nào công trình của mình hoàn thành vậy?

Kính thưa các anh em VMFers , trong quá trình tìm tài liệu, em đã tìm được cái file này về bổ đề hình học, nhưng em có hai vấn đề khó khăn như sau:
- Khi dùng các bổ đề này, em có cần phải chứng minh không?
- Và nếu có phải chứng minh, thì em xin mấy anh chứng minh giúp em với (tại em còn non tay nghề không biết chứng minh ra sao ),

nếu có thể được như vậy, em xin cám ơn



p/s nếu mấy anh có tài liệu khác về bổ đề hình học hay các bài toán hay, thì xin đóng góp để topic thêm phần hữu ích

 bodetoan9.pdf   355.96K   4297 Số lần tải

Cực trị dần dần cũng tạo nên một sự thích thú đối với những học sinh yêu thích bất đẳng thức. Tuy nhiên, đối với những học sinh mới nghiên cứu trong lĩnh vực này (giống như em chẳng hạn) thì, việc có được một nền tảng tốt trong việc lâp luận tìm gtnn, gtln đang trở nên khó khăn. Đa số, vấp phải tình trạng như, có kết quả đúng nhưng lập luận không có nghĩa nên bài ấy cũng không điểm mà thôi. Nên em lập topic này để thảo luận về những điểm, những sai lầm thường gặp trong việc lập luận trong quá trình tìm gtln, gtnn..... xin mấy anh/bạn cùng nhau xây dựng topic và xin đừng để topic bị rơi vào quên lãng.

tìm GTNN và GTLN của các biểu thức
$A=\frac{x^2+1}{x^2-x+1}$
$B=\frac{x^2}{x^2-5x+7}$
tìm GTNN của các biểu thức
$C=\frac{x}{x^2+2}$
$D=\frac{x^2}{(x^2+2)^3}$
$E=x^2+\frac{2}{x^3}$ Với $x>0$
$F=\frac{x+6\sqrt{x}+34}{\sqrt{x}+3}$ Với $x>0$
$G=\frac{x^3+2000}{x}$ Với $x>0$
$H=\frac{x^2+2x+17}{2(x+1)}$ Với $x>0$



p/c em mới mày mò học sơ sơ mấy cái này, xin mấy anh đừng làm tắt quá em không hiểu. Nếu được, xin cho em xin cái phương pháp làm mấy bài tập này thì em xin cảm ơn

Em chỉ mới tập tành cực trị được vài tháng, vẫn chưa rành lắm về cực trị của biểu thức chứa dấu căn . Lại nghe đồn rằng loại cực trị có chứa dấu căn này không có quy tắc chung..... Em không biết mấy anh có phương pháp nào hay, hoặc tìm được tài liệu náo liên quan đến vấn đề này thì xin chia sẻ cho em với. Em cảm ơn trước

Bài tập 2: Chứng minh các biểu thức sau đây là số nguyên:
a) $A=\dfrac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$;

b) $B=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}$;


d) $D=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}}$;

e) $E=\left (\sqrt{3}-1 \right )\sqrt{6+2\sqrt{2}.\sqrt{3-\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt{12}+\sqrt{18-\sqrt{128}}}}}$.

a) $A=\dfrac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$
$A=\frac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+4\sqrt{3}}}}}{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}=\frac{\sqrt{2}\sqrt{3+\sqrt{3}-1}}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}=1$

b)$B=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}$
$B=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}}=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5}+1}=1$

d)$D=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}}$
$D=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10(2+\sqrt{3})}}}=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{28-10\sqrt{3}}}}$
$D=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+25-5\sqrt{3}}}=\sqrt{4+\sqrt{25}}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3$

e)$E=\left (\sqrt{3}-1 \right )\sqrt{6+2\sqrt{2}.\sqrt{3-\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt{12}+\sqrt{18-\sqrt{128}}}}}$
$E=(\sqrt{3}-1)\sqrt{6+2\sqrt{2}.\sqrt{3-\sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{3}+(4-\sqrt{2})}}}=(\sqrt{3}-1)\sqrt{6+2\sqrt{2}.\sqrt{2-\sqrt{3}}}$
$E=(\sqrt{3}-1)\sqrt{6+2\sqrt{3}-2}=(\sqrt{3}-1)\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}=3-1=2$

Bài tập 1: Tính giá trị các biểu thức sau:




e) $E=\sqrt{4+\sqrt{15}}+\sqrt{4-\sqrt{15}}-2\sqrt{3-\sqrt{5}}$;

f) $F=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}$;

g) $G=\sqrt{6+2\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}$;



i) $I=\sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}.\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$.

em xin phép được làm tiếp

e)$E=\sqrt{4+\sqrt{15}}+\sqrt{4-\sqrt{15}}-2\sqrt{3-\sqrt{5}}$
$E=\frac{\sqrt{8+2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{8-2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}-\frac{2\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}$
$E=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{3}-2\sqrt{5}+2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

f)$F=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}$
$F=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{(2\sqrt{5}+3)^2}}}=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}}=\sqrt{5-\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}}=1$

g)$G=\sqrt{6+2\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}$
$G=\sqrt{6+2\sqrt{5-\sqrt{13+4\sqrt{3}}}}=\sqrt{6+2\sqrt{4-2\sqrt{3}}}=\sqrt{6+2\sqrt{3}-2}=\sqrt{3}+1$

i)$I=\sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}.\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$
$I=\sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{4-3}=1$

Bài tập 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) $A=\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{6-4\sqrt{2}}$;

b) $B=\sqrt{8-2\sqrt{15}}-\sqrt{8+2\sqrt{15}}$;

c) $C=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$

em xin trả lời trước có gì sai xót thì xin mấy bổ sung dùm em
a) $A=\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{6-4\sqrt{2}}$
$A=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}-\sqrt{(2-\sqrt{2})^2}=\sqrt{2}+1-(2-\sqrt{2})=\sqrt{2}+1-2+\sqrt{2}=2\sqrt{2}-1$;

b) $B=\sqrt{8-2\sqrt{15}}-\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}-\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}=-2\sqrt{3}$


c) $$C=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$$
$$C=\sqrt{\frac{8+2\sqrt{7}}{2}}-\sqrt{\frac{8-2\sqrt{7}}{2}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{7}+1)^2}{2}}-\sqrt{\frac{(\sqrt{7}-1)^2}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$$

tính làm hết mà em còn đi học nên cho em khất (sorry )

Em là một học sinh rất yêu thích môn toán, nhưng do mới bắt đầu có ý hướng học chuyên toán từ cuối hè năm lớp 8 nên cho đến giờ em vẫn chưa có tiến bộ chi mấy. Nhìn lại mấy năm 6,7,8 của mình như một quãng thời gian mà em đã bỏ lở, đến giờ, nhìn mấy em lớp 8 mà giải bài tập của mình đang học dễ như ăn cháo, em cảm thấy tủi thân lắm. . Mấy anh có phương pháp nào giúp em học toán có hiệu quả được không? Em hi vọng có thể thực sự bắt kịp bè bạn trong lớp, cùng các VMFers khác. Em xin cảm ơn.

Vẽ thêm đường kẻ phụ để giải toán hình học phẳng luôn là một vấn đề đối với học sinh THCS. Vì vậy hôm nay mình lập topic này để chia sẻ kinh nghiệm đọc đc trong một cuốn sách về đường kẻ phụ

Sau đây sẽ là các cách chủ yếu đc dùng:
1.Vẽ đoạn thẳng, tia đường thẳng, đường tròn
2.Vẽ giao điểm của 2 đường
3.Vẽ trung điểm của đoạn thẳng, vẽ đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước
4.Vẽ tia phân giác của góc, vẽ góc bằng góc cho trước
5.Vẽ đường thẳng vuông góc
6.Vẽ đường thẳng song song
7.Vẽ tam giác
[COLOR=Indigo]Với mỗi cách mình sẽ đưa ví dụ cụ thể và các bài học luyện cách chứng minh:
1.Coi trọng bước vẽ hình
2.Khai thác giả thiết để phát hiện nhưng quan hệ mới
3.Phân tích kết luận để định hương chứng minh
4.Sử dụng hết các dư kiện
5.Đổi hương chứng minh khi đi vào ngõ cụt
6.Đại số giúp ích hình học
7.Đưa khó về dễ
8.Đưa lạ về quen
9.Phương pháp phản chứng.

Cách thứ nhất:Vẽ đoạn thẳng, tia, đường thẳng, đường tròn
_Khi có trung điểm của một cạnh trong tam giác, ta thường kẻ đường trung tuyến, đườn trung bình.
_Khi cần tạo góc ngoài của tam giác, ta thường kẻ tia đối của tia chứa một cacnhj của tam giác.
_Kẻ hai đường chéo của tứ giác.
_Kẻ đương trung bình của hình thang khi có trung điểm của hai cạnh bên.
cái này còn một phần nữa nhưng nói sau.
Cách 2: Vẽ giao điểm của hai đường thẳng
Hãy chú ý vẽ giao điểm của hai đường thẳng nếu hình vẽ tạo ra các tam giác, tứ giác liên quan đến các quan hệ nêu trong đề bài; vẽ giao điểm của đường thẳng và đường tròn nếu hình vẽ tạo ra các cung có liên quan đến các dữ kiện trong bài.
Hãy nghĩ đến việc vẽ giao điểm của hai đường thẳng nếu hình vẽ tạo ra những hình mới có lợi trong chứng minh( tạo ra các tam giác đặc biệt, những tam giác bằng nhau, những tam giác đồng dạng, những cung bằng nhau hay bù nhau...)
Cách thứ 3: Vẽ trung điểm của đoạn thẳng vẽ đoạn thẳng bằng đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước
Trong một tam giác,khi đã có trung điểm của một cạnh, ta thường vẽ thêm trung điểm của một cạnh khác.
Trong hình thang, khi đã có trung điểm của một cạnh bên, ta thường vẽ thêm trung điểm của cạnh bên thứ hai.
Việc vẽ thêm một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước nhằm tạo ra:
- Một tam giác mới bằng một tam giác trong bài toán
- Một tam giác cân giúp thuận lợi trong chứng minh
- Tổng hiệu của hai đọn thẳng.
Cách tứ tư: vẽ tia phân giác của góc, vẽ góc bằng góc cho trước
Ta thuờng vẽ tia phân giác của góc nếu góc đó gấp đôi đôi một góc kháctrong bài toán. Việc vẽ một góc bằng góc cho trước thường nhằm tạo ra một tam giác cân, một hình thang cân, hai tam giác bằng nhau, ai tam giác đồng dạng...
Bài này chính là bài của mình trên học mãi nên bạn nào đọc qua rùi thì đừng thắc mắc

anh có thể cho em biết là cuốn sách gì được không? một quyển sách hay thì cũng nên tham khảo