no matter what

cho a,b,c thực dương và abc =1. Chứng minh:$\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\leq \frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}$

Old and new inequalities của Titu bạn nhé 

Cho $a,b,c>0$. CMR:
$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq 4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$

http://diendantoanho...gm/page__st__40
bài 13

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
CMR
$\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b+c}}\leq \sqrt{3}$

Thực hiện qua 3 bước
(1) Dùng C-S đưa về cùng mẫu
$\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}= \sum \sqrt{\frac{a^2(1+b+c)}{(a^2+b+c)(1+b+c)}}\leq \frac{\sum a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}$
(2) Không dùng C-S trực tiếp mà tách theo kiểu sau
$\frac{\sum a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}= \frac{ \sum \sqrt{a} \sqrt{a(1+b+c)}}{a+b+c} \leq \frac{\sqrt{(a+b+c) \left [ \sum a(1+b+c) \right ]}}{ \sqrt{(\sum a)(\sum a)}}$
(3) Thu gọn (2) và C-S bước cuối $\frac{ \sqrt{(a+b+c) \left[ \sum a(1+b+c) \right] }}{\sqrt{(\sum a)(\sum a)}}= \sqrt{1+\frac{2(ab+bc+ca)}{a+b+c}} \leq \sqrt{1+\frac{2 \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{3}} = \sqrt{3}$

@Toàn: Chỉnh cái TeX nhọc chết

Cho $x,y,z> 0$ thỏa mãn: $x+2y+3z=\frac{1}{4}$. Tìm max:
$M=\frac{232y^{3}-x^{3}}{2xy+24y^{2}}+\frac{783z^{3}-y^{3}}{6yz+54z^{2}}+\frac{29x^{3}-27z^{3}}{3xz+6x^{2}}$

Đặt $x=a;2y=b;3z=c$ viết đk về $a,b,c >0,a+b+c=\frac{1}{4}$
Thật "may mắn" M có thể viết về dạng
$\frac{29b^3-a^3}{ab+6b^2}+\frac{29c^3-b^3}{bc+6c^2}+\frac{29a^3-c^3}{ac+6a^2}$
Bằng biến đổi thuần túy,ta chứng minh được BĐT sau
$\frac{29b^3-a^3}{ab+6b^2}\leq 5b-a$(1)
Thật vậy,(1) tương đương $a^3+b^3\geq ab(a+b)$
Bài toán xem như được giải quyết

Làm giúp em bài này: Cho a,b,c $>$0 , Thoả mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
Chứng Minh :
$\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Trang 1 bạn ơi,kĩ thuật đánh giá mẫu ấy

Chém thử câu a xem sao:
BĐT tương đương:
$$\sum\frac{\sum a^2}{b^2+c^2} \leq \frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3$$
$$\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{b^2+c^2}\leq \frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}$$
Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt3}$

Diễn đàn check lại tên box
Trình ngắn cũng xin làm lại đoạn cuối(dĩ nhiên là cchs trên đúng rồi)
Áp dụng trực tiếp AM-GM cho mẫu thì sao nhỉ $VT= \sum \frac{a^2}{b^2+c^2}\leq \sum \frac{a^2}{2bc}= \frac{\sum a^3}{2abc}= VP$
Bài này khá lỏng ở chỗ đánh giá này không làm đổi dấu,mấu chốt để giải bài này chỉ là dựa vào ĐK để biến đổi cho ra thế thôi

theo trà lưu :Somebody that i used to know cover

23,Chứng mi9nh với mọi a,b,c dương có tổng bình phương bằng 1
$a+b+c+\frac{1}{abc}\geq 4\sqrt{3}$. Tổng bình phương =1 ??????
giả sử a là min(a,b,c)
do b,c<1 do đó ta đánh giá : $a\leq \frac{1}{9}=>\frac{1}{abc}\geq \frac{1}{a}\geq 9>4\sqrt{3}$
ko biết đúng ko.

rất tiếc đây là 1 lời giải sai chú ý là với $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$,BĐT trên đúng

Hic làm ko ra mình hoá rồ , Xin lỗi bạn...
Bài 21: áp dụng :$$a^3+1\leq (\frac{a^2+2}{2})^2$$ ta chứng minh:
$$\sum 4\frac{a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}\geq \frac{4}{3}\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)+(ab)^2+(cb)^2+(ac)^2\geq 72$$
bất đẳng thức cuối đúng theo AM_GM

Đây là offical solution của APMO 2005,è 1 vài cách giải khác cho bài này,mình xin dc post sau(ngủ cái đã )

em si nghĩ bài này cũng gần 1 tuần rồi > Lấy hết can đảm cho số (1,1,2) vào =>......
Chủ top đâu , vào giải thích hộ em phát

Thay vào vẫn đúng mà bạn VT= 1,46666........<VP=1.587401.
Chủ topic cũng chịu dạo này ngu toán nặng nề,đành đẻ lại cho lớp tài năng THCS thôi
Bài 21 (tạm rời bài 19- mọi người cứ vực dậy bất cứ lúc nào )
21,Chứng minh với mọi a,b,c dương có tích bằng 8 ta có
$\frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}}+\frac{b^2}{\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)}}+\frac{c^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+c^3)} }\geq \frac{4}{3}$

NGẠI LẮM =))

ngại gì chứ,chị cứ up nhiệt tình đi

Em xin có 1 ý kiến nho nhỏ như sau
Tuy rằng trên diễn đàn có nhiều bạn học trường chuyên toán(tin) và có ước mơ (chắc sẽ thực hiện được) là đậu VMO hoặc cao hơn đẻ tàn tạ khi mọi người quấn khăn treo tóc vào đèn ôn thi ĐH.Em nghĩ tuy rằng phát triển hết sức có thể sở trường chung (và niềm đam mê chung )của mọi người (là TOÁN ) là điều cần thiết hỏi nói và diễn đàn đã đang và sẽ ngày càng làm tốt được điều này
Tuy nhiên em cũng nghĩ ta nên quan tâm hơn đến số hận dáng thương của những con người "sa cơ lỡ phận","chí cao tài mọn" mà có sự quan tâm hơn tới 2 môn anh em là LÝ và HÓA để giúp rằng những giờ lên VMF của mọi người là những giờ thiết thực nhất cho học tập và vui chơi,giúp cho diễn đàn không chỉ là 1 diễn đàn được biết đến là 1 diễn đàn quy tụ những cao nhân bá đạo toán mà còn ngày càng được mở rộng và biết đến như 1 nơi trao đổi toàn diện và rèn luyện kkinh nghiệm đầy đủ(khối a) cho các VMFER
Em viết những lời trên sau khi đã rà soát trên diễn đàn (thực ra thì cũng lâu rồi) các box"thông tin và tuy là vẫn có về các môn em đã êu (thậm chí còn nhiều môn hơn ) nhưng hoạt động lại không sôi nổi (= 1 phần mấy trăn) bất kì 1 box nào bên box toán
Vì vậy em chân thành đề nghị cần có 1 cách nào đó (hoặc 1 cái gì đs) xoay chuyển thế không cân sức quá nhiều này ạ
Em xin chân thành cảm ơn

sorry, đáp số là 1 m/s bạn

Giải
Coi hệ trên là hệ kín(nói thật là không phải coi mà hệ đó là hệ kín vì $\Delta t$ rất ngắn
(Bạn nên vẽ hình vào cho sướng mắt )
Theo dlbtdl ta có $(m_1+m_2)\overrightarrow{v_0}=m_1\overrightarrow{v_1}+m_2\overrightarrow{v_2}$
Trong đó vo là vận tốc trước khi nhảy(của người+xe),v1 là vận tốc người nhảy,v2 là vận tốc xe
chiếu cí công thức trên lên phương chuyển động làm mất tích $m_1\overrightarrow{v_1}$ (do mất v1 vì v1 vuông góc với phương ngang-phương chiếu)
thay số vào công thức sau khi chiếu là xong thôi

Ví dụ như nghề giáo viên chẳng hạn. Theo mình thấy thì hầu như ( hầu như thôi nhé) những ai không có sự lựa chọn nào khác mới chọn nghề giáo viên và như trường mình các thầy cô chẳng khuyên học sinh chọn ngành này

chon nghề giáo viên là 1 cách chắc ăn và cũng để đảm bảo cho tương lai của con cháu bạn ah

đây là lời giải
http://boxmath.vn/4r...4881#post184881

ĐÓ LÀ 1 LỜI GIẢI SAI

Cho $a,b,c>0$.CMR
$\sqrt{ab(a+b)}+\sqrt{bc(b+c)}+\sqrt{ca(c+a)}\geq \sqrt{4abc+(a+b)(b+c)(c+a)}$

Nhân tiện bài này cũng xin tặng mọi người 1 bài rất đẹp sau
($a,b,c\geq 0)$$(\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(c+a)}+\sqrt{c(a+b)})\sqrt{a+b+c}\geq 2\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}$