BoFaKe

Tính : $C_{2013}^{1}+C_{2013}^{5}+C_{2013}^{9}+...+C_{2013}^{2013}$

Like 2 lần trong cùng 1 bài?

bài 83:

cho x,y,z >o và x²+y²+z²=1.

CMR: $\frac{x^2}{x^2+yz}+\frac{y^2}{y^2+xz}+\frac{z^2}{z^2+xy}\geqslant \frac{3}{2}$

^^

Với $x=y=\frac{1}{2};z=\frac{\sqrt{2}}{2}$ thì bất đẳng thức sai,đề phải là :

$\frac{x^2}{x^2+yz}+\frac{y^2}{y^2+xz}+\frac{z^2}{z^2+xy}\leq \frac{3}{2}$

Tìm số các nghiệm nguyên dương của phương trình: $x+y+z=2012$

Trong các số nghiệm này có bao nhiêu nghiệm $(x_{0};y_{0};z_{0})$ trong đó $x_{0};y_{0};z_{0}$ đôi một khác nhau.

giải phương trình

$\begin{vmatrix} \sqrt{x^{2}-4x+5}-\sqrt{x^{2}-10x+50} \end{vmatrix}=5$

Ta có bđt 

$$\left | \sqrt{a^{2}+b^{2}}-\sqrt{c^{2}+d^{2}} \right |\leq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}} $$

$$\Leftrightarrow \sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}\geq -2(ac+bd)$$ (Đúng theo C--S).

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}$

Áp dụng

$\begin{vmatrix} \sqrt{(x-2)^{2}+(-1)^{2}}-\sqrt{(5-x)^{2}+5^{2}} \end{vmatrix}\leq \sqrt{(5-2)^{2}+(5-1)^{2}}= 5$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \frac{x-2}{5-x}=\frac{-1}{5}\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}$

Bài 1: Cho đường thẳng $(d):x-y+2=0$,$O(0;0),A(2;0)$.Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $(d)$ sao cho đoạn gấp khúc $OMA$ là ngắn nhất.

Bài 2: Cho $(E):\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ và một đường thẳng $(\Delta )$ thay đổi có phương trình $Ax+By+C=0$ luôn thõa mãn $25A^{2}+9B^{2}=C^{2}$.Tìm khoảng cách giữa $2$ tiêu điểm $F_{1};F_{2}$ và đường thẳng $(\Delta )$.

Cho $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$.Chứng minh rằng : $\frac{b}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a}{c^{2}+b^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Lâu lâu lên diễn đàn góp vui 1 bài cũng ....thường   

Bài toán: Chứng minh rằng phương trình $x^{x+1}=(x+1)^{x}$ có nghiệm duy nhất với $x>0$.

Tính $V$ tứ diện $ABCD$ có $AB=a;AC=b;AD=c$ và $\widehat{BAC}=\widehat{CAD}=\widehat{DAB}=60^{\circ}$.

Cho các số thực không âm a;b;c thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

  $\large A=ab+bc+ac-2abc$

Bài này quen thuộc nên nhiều cách.$A=ab+bc+ac-2abc= ab(1-2c)+c(1-c)= f(ab)$

Với $0\leq ab\leq \frac{(a+b)^{2}}{4}= \frac{(1-c)^{2}}{4}$

Ta có : $f(ab)\leq \left \{ f(\frac{(1-c)^{2}}{4});f(0) \right \}$

+)$f(0)=c(1-c)\leq \frac{1}{4}$

+)$f(\frac{(1-c)^{2}}{4})=\frac{c^{2}-2c^{3}+1}{4}$.

Xét $f(\frac{(1-c)^{2}}{4})-\frac{7}{27}= -\frac{(3c-1)^{2}(6x+1)}{108}\leq 0\Leftrightarrow f(\frac{(1-c)^{2}}{4})\leq \frac{7}{27}$

Vậy GTLN là $\frac{7}{27}$ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Cho phương trình $ax^2+bx+c=0$ thoả mãn $2a+3b+6c=0$

CMR: PT luôn có nghiệm thuộc miền $\left ( 0,1 \right )$

Xét hàm số $F(x)=\frac{a}{3}x^{3}+\frac{b}{2}x^{2}+cx$ liên tục và khả vi trên $[0;1]$ và :

• $F'(x)=ax^{2}+bx+c$
• $F(1)-F(0)=\frac{1}{6}(2a+3b+6c)=0$

Khi đó tồn tại $x_{0}\in (0;1)$ sao cho $F'(x_{0})=\frac{F(1)-F(0)}{1-0}\Leftrightarrow ax_{0}^{2}+bx_{0}+c=0$

Hay phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ có nghiệm $x_{0}\in (0;1)$.

Giải hệ pt sau:

 

         $x^{3}-3x=y$

         $y^{3}-3y=z$

         $z^{3}-3z=x$

Từ phương trình,thế $y;z$ ta sẽ có :$$[(x^{3}-3x)^{3}-3(x^{3}-3x)]^{3}-3[(x^{3}-3x)^{3}-3(x^{3}-3x)]=x$$

Phương trình này sẽ có tối đa là $27$ nghiệm.

Xét $x\in [-2;2]$,ta đặt $x=2\cos t(t\in [0;\pi ])$.Khi đó ta có :

$$\left\{\begin{matrix} (1)\Leftrightarrow y=2\cos 3t & & & \\ (2)\Leftrightarrow z=2\cos 9t & & & \\ (3)\Leftrightarrow x=2\cos 27t & & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \cos t=\cos 27t\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t= k\frac{\pi }{13} & & \\ t= k\frac{\pi }{14} & & \end{bmatrix}$$

Với $t= k\frac{\pi }{13}$ và $t\in [0;\pi ]$ ta tìm được $k\in \left \{ 0;..13 \right \}$

Với $t= k\frac{\pi }{14}$ và $t\in [0;\pi ]$ ta tìm được $k\in \left \{ 0;..14 \right \}$

Do nghiệm $t=0$ và $t=\pi$ trùng nhau nên ta có tất cả $27$ nghiệm.Do vậy ta không cần xét các trường hợp khác nữa.

Vậy $(x;y;z)\in \left \{ 2\cos \frac{k\pi }{13};2\cos \frac{k3\pi }{13};2\cos \frac{k9\pi }{13} \right \};k= \overline{1,13}$

Một bài toán thi đội tuyển lớp 8 nữa :A= $\left | 36^{x}-5^{y} \right |$ với x,y là các số tự nhiên khác 0. Tìm GTNN của biểu thức A.

P/s: các bạn giảng chi tiết bài này giùm mình một chút nha, và cho mình biết thêm về định lý Fecma đc hok? Cần lưu ý gì vệ dạng bài tập này

Bài này có ở đây.

 

Đánh số vô cho đúng "luật"

Bài 27:1.cho x,y,z không âm và x+y+z=1 chứng minh:$0\leqslant xy+yz+zx-3xyz\leqslant\frac{1}{4}$

Giải:

Vì vai trò của các biến như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử x=min{x;y;z}$\Rightarrow x\leq \frac{1}{3}$

 

P=$x+y+z-3xyz$=$x(y+z)+yz(1-3x)\leq x(y+z)+\frac{(y+z)^{2}}{4}(1-3x)=x(1- x)+\frac{(1-x)^{2}}{4}(1-3x)=\frac{1}{4}(-3x^3+3x^2-x+1)$

 

Xét hàm: $f(x)=-3x^3+3x^2-x+1$ trên $[0;\frac{1}{3}]$

 

$f'(x)=-9x^2+6x-1=-(3x-1)^{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$

$f'(x)<0$ thì là hàm nghịch biến mà bạn,khi đó $f(x) \leq f(0)$

2/Cho a,b,c >0

CMR: $\sum a^{3}+4\sum a^{2}b\geq 5\sum ab^{2}$

Nếu đề là $a^{3}+b^{3}+c^{3}+4(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\geq 5(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})$ thì nó sai với $a=1,7;b=0,3;c=1$.