Huyen Nguyen Thai

Cho tam giác ABC Dựng phía ngoài tam giác các tia Ax vuông góc với AB, Ay vuông với AC, Mz vuông với BC ( M là trung điểm BC) Trên tia Ax, Ay, Mz lấy các điểm theo thứ tự D, E, O1 sao cho AD=AB; AE= AC, MO1 = MB. Qua điểm A kẻ đường thẳng vuông góc với Bc tại H cắt DE tại K. Goi O2,O3 là trung điểm của BD và CE. CO2 và O2O3 bằng và vuông góc với nhau. Trên hình vẽ có những cặp nào có tính chất như vậy?

Bài 8. Cho $\frac{bz - cy}{a}=\frac{cx - az}{b}=\frac{ay - bx}{c}$.
CMR: $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$.

Bài 8:
$\frac{bz - cy}{a}=\frac{cx - az}{b}=\frac{ay - bx}{c}$
$\Rightarrow \frac{abz - acy}{a^2}=\frac{bcx - baz}{b^2}=\frac{cay - cbx}{c^2}$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
$\frac{abz - acy}{a^2}=\frac{bcx - baz}{b^2}=\frac{cay - cbx}{c^2}=\frac{abz-acy+bcx-baz+cay-cbx}{a^2+b^2+c^2}=0$
Suy ra:$\frac{bz - cy}{a}=0 \Rightarrow bz=cy \Rightarrow \frac{y}{b}=\frac{z}{c}$
$\frac{cx - az}{b}=0 \Rightarrow cx=az \Rightarrow \frac{x}{a}=\frac{z}{c}$
$\Rightarrow \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$
Vậy với $\frac{bz - cy}{a}=\frac{cx - az}{b}=\frac{ay - bx}{c} thì \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$.

Bài 9. Cho $\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}=...=\frac{a_

{2008}}{a_{2009}}$. CMR: $\frac{a_1}{a_{2009}}=(\frac{a_1 + a_2 + a_3+...+a_{2008}}{a_2 + a_3 + a_4 +...+ a_{2009}})^{2008}.$

Bài 9:
Đặt $\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}=...=\frac{a_

{2008}}{a_{2009}}=k$
$\Rightarrow a_1=k^{2008}.a_{2009};a_2=k^{2007}.a_{2009};a_3=k^{2006}.a_{2009};...;a_{2008}=k.a_{2009}$
Vế trái:$\frac{a_1}{a_{2009}}=\frac{a_{2009}.k^{2008}}{a_{2009}}=k^{2008}$
Vế phải:$(\frac{a_1 + a_2 + a_3+...+a_{2008}}{a_2 + a_3 + a_4 +...+ a_{2009}})^{2008}.$
$=(\frac{a_{2009}.k^{2008} + a_{2009}.k^{2007} + a_{2009}.k^{2006}+...+a_{2009}.k}{ a_{2009}.k^{2007} + a_{2009}.k^{2006}+...+a_{2009}.k+ a_{2009}})^{2008}.$
$=(\frac{k.a_{2009}.(k^{2007}+k^{2006}+...+1)}{a_{2009}.(k^{2007}+k^{2006}+...+1)})^{2008}$
$= k^{2008}$
Vậy với $\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}=...=\frac{a_

{2008}}{a_{2009}}$ thì $\frac{a_1}{a_{2009}}=(\frac{a_1 + a_2 + a_3+...+a_{2008}}{a_2 + a_3 + a_4 +...+ a_{2009}})^{2008}.$

Không giống lắm
Nhìn em của em đáng iu quá, hehe

Cảm ơn nhá tềnh iu <3