mbrandm

các bạn thử sức với ba bài cực trị hình học sau nhé!
Bài 1:Cho hai điểm A,B nằm về một phía của đường thẳng d và không cách đều d với A,B và đường thẳng d cố định. tìm M di động trên d sao cho $\left | MA-MB \right |$ đạt giá trị lớn nhất.
Bài 2 Cho tam giác nhọn ABC. Từ một điểm I trong tam giác kẻ IM vuông góc với BC, IN vuông góc với AC và IK vuông góc với AB.
Đặt AK=x, BM=y, CN=z. Tìm vị trí của I sao cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất

yêu cầu của bài toán là nhỏ nhất mà

ta có $\left ( a-b \right )^{2}+\left ( b-c \right )^{2}+\left ( c-a \right )^{2}\geq \frac{\left ( a-b \right )^{2}}{13}+\frac{\left ( b-c \right )^{2}}{3}+\frac{\left ( c-a \right )^{2}}{\frac{2009}{2}}$
tới đây chia hai vế cho hai ta được đpcm
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

các bạn nên cẩn thận khi ra đề chứ, đề sai mọi người mất nhiều thời gian

Đặ BC=a; AC=b và AB=c.
Theo Ptoleme ta có
a.AM+b.BM=c.CM
a.AN+c.CN=b.BN
Suy ra a(AM+AN)=b(BN-BM)+c(CM-CN) (*).
dễ thấy $\Delta$ AFM đồng dạng $\Delta$ NFB.
suy ra $\frac{AM}{BN}$= $\frac{MF}{BF}$.(1)
$\Delta$ AFN đồng dạng $\Delta$ MFB
Suy ra $\frac{AN}{BM}$= $\frac{AF}{MF}$.(2)
Từ (1) và (2) suy ra$\frac{AN.AM}{BM.BN}$= $\frac{AF}{BF}$.
Lại có AF:BF=CA:BC=b:a(**)
Tương tự ta có $\frac{AN.AM}{CM.CN}$= $\frac{c}{a}$.(***)
Thay (**) và (***) vào (*) ta được:
AM+AN=$\frac{AM.AN}{BM.BN}$.$\left ( BN-BM \right )$+$\frac{AM.AN}{CM.CN}$.$\left ( CM-CN \right )$
tương đương với : $\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}= \frac{1}{BM}-\frac{1}{BN}+\frac{1}{CN}-\frac{1}{CM}$.
suy ra: $\frac{1}{BM}+\frac{1}{CN}= \frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}+\frac{1}{BN}+\frac{1}{CM}\geq \frac{4}{AM+AN}+\frac{4}{BN+CM}$
đpcm
xong rồi

chứng minh:
$\frac{a}{ab+1}$+$\frac{b}{bc+1}$+$\frac{c}{ca+1}$$\geq $$\frac{3}{2}$ với a,b,c là các số thực dương và abc=1.
bài này chôm được trong một quyển sách, mà không có đáp án, ngồi một lát mới ra thấy giống Nesbit nên
đổi biến số thử:
đặt a= $\frac{x}{y}$; b= $\frac{y}{z}$; c= $\frac{z}{x}$.
từ đó ta được
$\frac{xy}{zy+zx}$+$\frac{xz}{yz+yx}$+$\frac{yz}{xz+xy}$$\geq$$\frac{3}{2}$
ta nhận ra đây là bất đẳng thức nesbit
đặt xy=m; yz=n; xz=p.(m,n,p>0)
ta được
$\frac{m}{n+p}$+$\frac{n}{m+p}$+$\frac{p}{m+n}$$\geq$ $\frac{3}{2}$
đây là bất đẳng thức nesbit đúng không nào.
mình còn chép được một số bài mà chắc cũng là đổi biến số hay cái thứ gì đó thôi các ban vào giải cho vui.
chứng minh các bất đẳng thức sau:
bài số 1: $\frac{1}{a\left ( b+1 \right )}$+$\frac{1}{b\left ( c+1 \right )}$+$\frac{1}{c\left ( d+1 \right )}$+$\frac{1}{d\left ( a+1 \right )}$$\geq$ 2. với a,b,c,d>0 và abcd=1.
bài số 2: x,y,z>0 và xyz=1.
chứng minh :
$\frac{1}{\left ( x+1 \right )^{2}+y^{2}+1}$+$\frac{1}{\left ( y+1 \right )^{2}+z^{2}+1}$+$\frac{1}{\left ( z+1 \right )^{2}+x^{2}+1}$$\leq$$ \frac{1}{2}$
bài số 3: a,b,c>0 và abc=1.
chứng minh:
a$\left ( b^{2}-\sqrt{b} \right )$+b$\left ( c^{2}-\sqrt{c} \right )$+c$\left ( a^{2}-\sqrt{a} \right )$$\geq$ 0

cho biểu thức A=$\left | 36^{m} -5^{n}\right |$
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đó.
lời giải:
ta có $36^m$ có tận cùng là $6, 5^{n}$ có tận cùng là 5 nên nếu $36^{m} > 5^{n}$ thì A có tận cùng là 1, nếu $5^{n} > 36^{m}-5^{n}=1 \Leftrightarrow 36^{m}-1=5^{n}36^{m}$ thì P có tận cùng là 9.
Nếu A=1 thì $36^{m}-5^{n}=1 \Leftrightarrow 36^{m}-1=5^{n}$ (1).
do $36^{m} -1$ chia hết cho 35 suy ra chia hết cho 7
$5^{n}$ không chia hết cho 7 nên (1) không xảy ra nên $A>1$
nếu A=9 thì $5^{n} -36^{m}=1\Leftrightarrow 5^{n}=36^{m}+9$.(2)
vì vế phải chia hết cho 9, mà vế trái không chia hết cho 9 nên (2) không xảy ra nên A>9.
Nếu A=11 thì : $36^{m}-5^{n}=11(3)$
nhận thấy m=1, n= 2 thỏa mãn (3)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 11.
MOD: Đề nghị học gõ Latex.

cho A=$\sqrt[2]{x^{2}-2x+2}+\sqrt[2]{x^{2}+6x+10}$
hãy tìm giá trị của biểu thức đó
lời giải:
$A= \sqrt[2]{x^{2}-2x+2}+\sqrt[2]{x^{2}+6x+10}$
$A=\sqrt[2]{\left ( x-1 \right )^{2}+1}+\sqrt[2]{\left ( x+3 \right )^{2}+1}$
xét các điểm M(1,1), N(-3,-1), P(x,0) ta có
$MP=\sqrt[2]{\left ( x-1 \right )^{2}+1} NP=\sqrt[2]{\left ( x+3 \right )^{2}+1} MN=\sqrt[2]{\left ( -3-1 \right )^{2}+\left ( -1-1 \right )^{2}}= 2\sqrt[2]{5}$
theo bất đẳng thức tam giác ta có: MP+NP$\geq$MN
suy ra A$\geq$$2\sqrt[2]{5}$
vì P thuộc trục hoành và M,N nằm khác phía so với trục hoành nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ba điểm thẳng hàng( M,N,P)
suy ra:$\frac{x+3}{x-1}= \frac{1}{-1}< 0 khi x=-1$
vậy giá trị nhỏ nhất của A là $2\sqrt[2]{5}$ đạt được khi x=-1