mbrandm

Trường THPT chuyên Bắc Quảng Nam

Cuộc thi giải toán chào mừng 83 năm thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh

Đề chính thức

Bài 1: Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} \left ( x-y \right )\left ( x^{2}+xy+y^{2} +3\right )=3\left ( x^{2}+y^{2} \right )+2\\ 4\sqrt{x+2}+\sqrt{16-3y}=x^{2}+3x+2 \end{matrix}\right.$

Bài 2: Cho $n=26^{26}+3^{3}+2014^{1931}$. Gọi S(x) là tổng các chữ số của số tự nhiên x. Đặt a=S(n), b=S(a) và c=S(b). Tìm c.

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: abc + a + b = c. Tìm giá trị lớn nhất của P biết ;

$P= \frac{26}{1+a^{2}}+\frac{3}{1+b^{2}}-\frac{3}{1+c^{2}}$

Bài 4: Cho hình thang có ba cạnh cùng độ dài là a. Tìm hình thang có diện tích lớn nhất.

Bài 5: Cho $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $f\left ( 1 \right )=-1, g\left ( 0 \right )=2$. Tìm f(2014) biết rằng:

$f\left ( x+y \right )+g\left ( x-y \right )=2f\left ( x \right )+2g\left ( y \right ), \forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 6: Cho đa giác đều 101 cạnh , các đỉnh của đa giác được tô bởi hai màu xanh và đỏ. Chứng tỏ rằng luôn tồn tại tam giác cân (các đỉnh là đỉnh của đa giác đều 101 cạnh) sao cho ba đỉnh được tô cùng một màu (xanh hoặc đỏ).

Đ/s: 1) (2,0)

       2) 5

       3) $\frac{2713}{104}$

       4) Hình thang cân có góc ở đáy $60^{o}$

       5) 4056194

       6) là bài toán lí luận nên để các bạn giải.

Thi giải toán chào mừng ngày nhà giáo Việt Nam 20/11

Năm học: 2013-2014

Đề bài:

Bài 1:

Cho x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình sau: $x^{2}-5x+3=0$.

Tìm các giá trị của $A=\left | x_{1}-2 \right |-\sqrt{x_{2}+1}$

Bài 2:

Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}+12}+5=3x+\sqrt{x^{2}+5}$

Bài 3:

Chứng minh bất đẳng thức sau: $\sqrt{2x^{2}+2xy+5y^{2}}+\sqrt{2y^{2}+2yz+5z^{2}}+\sqrt{2z^{2}+2zx+5x^{2}}\geq 3\sqrt{3}$ $\forall x,y,z\in \mathbb{R}$

Bài 4:

Tìm các hàm số f thoả: $f\left ( x-2y+3 \right )-y^{2}=2f\left ( x+y+1 \right )+f\left ( y-2x \right )$ $\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 5:

Chứng tỏ rằng nếu n là số tự nhiên có đúng 2013 ước số tự nhiên thì n là số chính phương.

Bài 6:

Cho bảy điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn, chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác có một góc nhỏ hơn 27^o, tam giác ấy có ba đỉnh là ba trong bảy điểm đã cho.

Bài 7: Cho đa giác đều A₁A₂...A₂₀₁₂A₂₀₁₃, điểm M nằm ở miền trong đa giác, điểm N nằm ngoài đa giác. Đặt $\sum_{i=1}^{2013}\overrightarrow{MA_{i}}=\overrightarrow{a}; \sum_{i=1}^{2013}\overrightarrow{NA_{i}}= \overrightarrow{b}$. Liệu có tồn tại điểm M, N nào thỏa mãn $\left | \overrightarrow{a} \right |> \left | \overrightarrow{b} \right |$. Nếu có hãy chỉ ra các điểm M,N ấy.

Đề đến đó thôi, mình giải khá gọn, bạn nào có lời giải càng gọn càng tốt nha. 

Cho ba số dương a,b,c>0.

1)Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{4b^{2}-bc+4c^{2}}\geq \frac{9}{7\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}$

2)Cho $a+b+c+\sqrt{2abc}\geq 10$ . Chứng minh rằng:

$\sqrt{\frac{8}{a^{2}}+\frac{9b^{2}}{2}+\frac{c^{2}a^{2}}{4}}+\sqrt{\frac{8}{b^{2}}+\frac{9c^{2}}{2}+\frac{a^{2}b^{2}}{4}}+\sqrt{\frac{8}{c^{2}}+\frac{9a^{2}}{2}+\frac{b^{2}c^{2}}{4}}\geq 6\sqrt{6}$.

3)Cho a+b+c=3. Chứng minh:

$\sqrt{2a^{2}+\frac{2}{a+1}+b^{4}}+\sqrt{2b^{2}+\frac{2}{b+1}+c^{4}}+\sqrt{2c^{2}+\frac{2}{c+1}+a^{4}}\geq 6$.

Cho dãy số ${u_{n}}$ được xác định như sau:

$\left\{\begin{matrix} u_{0}=0,u_{1}=1\\ u_{n+2}=1999u_{n+1}-u_{n} \end{matrix}\right.$

Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho ${u_{n}}$ là số nguyên tố.