defaw

Giải: Ta có $p^n=(x+y)(x^2-xy+y^2)=p^a\cdot p^b$
Suy ra $(x+y)^2=p^{2a}=x^2+2xy+y^2$ mà $x^2-xy+y^2=p^b$
Nên $3xy=p^{2a+b}\Rightarrow p\vdots 3$ mà $p$ là số nguyên tố, muốn để tồn tại các số $x,y,n$ thì $p=3$
Vậy $p=3$ thoả mãn yêu cầu đề bài.

p/s : xem em sai chỗ nào nhé

Giải bài 1:
a) Ta thấy $\triangle BFC$ vuông tại $F$, nên điểm cách đều $B,F,C$ là trung điểm cạnh huyền $BC$.
Tương tự với $\triangle BEC$, trung điểm cạnh huyền cũng có tính chất như vậy. Do đó, điểm $O$ là trung điểm $BC$
b)$\triangle BAE\sim \triangle CAF\Rightarrow AF\cdot AB=AE\cdot AC$
c)Từ b), suy ra $\triangle AEF\sim \triangle ABC\Rightarrow \frac{EF}{a}=\frac{AF}{AC}=\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}\Rightarrow EF=\frac{a}{2}$
d)Ta có $\angle MFH=\angle MHF=90^{\circ}-\angle FAH=90^{\circ}-\angle FCB=90^{\circ}-\angle OFC\Rightarrow MF\perp FO$.

Em thấy với $x=y=z$ thì $(1+\frac{x}{y})+(1+\frac{y}{z})+(1+\frac{z}{x})=6$, còn $2+\frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}=8$, bất đẳng thức bị ngược lại.

Bài 65: Giải hệ \[\left\{ \begin{array}{l}
30\sqrt {{x_1}} + 4\sqrt {{x_2}} = \sqrt[{2009}]{{{x_3}^{2008}}}\\
30\sqrt {{x_2}} + 4\sqrt {{x_3}} = \sqrt[{2009}]{{{x_4}^{2008}}}\\
............................\\
30\sqrt {{x_{2008}}} + 4\sqrt {{x_1}} = \sqrt[{2009}]{{{x_2}^{2008}}}
\end{array} \right.\]
Đề đề nghị 30/4 tỉnh Trà Vinh 2008

Em thử làm bài 65 xem thế nào vậy:
Giải: Giả sử $(x_{1},x_{2},...,x_{2008})$ là nghiệm của hệ phương trình. Do các số $x_{1},x_{2},...,x_{2008}$ có tính hoán vị vòng quanh, nên ta giả sử $x_{3}=max (x_{1},x_{2},...,x_{2008})$, từ hai phương trình đầu, $\Rightarrow x_{4}>x_{3}$, suy ra $x_{4}=x_{3}$. Làm tương tự với các phương trình sau, ta suy ra
$x_{1}=x_{2}=x_{3}=...=x_{2008}$
Hệ phương trình đã cho tường đương với:
$34\sqrt{x}=\sqrt[2009]{x^{2008}}\Leftrightarrow 34^{4018}\cdot x^{2009}=x^{4016}\Leftrightarrow x^{2009}\cdot (x^{2007}-34^{4018})=0$
$\Leftrightarrow$ $x=0$ hoặc $x=\sqrt[2007]{34^{4018}}$.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
$x_{1}=x_{2}=...=x_{2008}=0$ hoặc $x_{1}=x_{2}=...=x_{2008}=\sqrt[2007]{34^{4018}}$

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương $(x;y)$ của phương trình $30^x+4^x+[A]^x=y^{2008}$
Trong đó $[A]$ để chỉ phần nguyên của số thực A với $A=\sqrt{\frac{2}{1}}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}} +\sqrt[4]{\frac{4}{3}}+...+\sqrt[2009]{\frac{2009}{2008}}$

Giải: Trước tiên, ta tính $[A]$, ta có $\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}} > 1$. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho $n+1$ số, ta có:
$\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}=\sqrt[n+1]{1\cdot 1\cdot ...\cdot \frac{n+1}{n}} < \frac{n+\frac{n+1}{n}}{n+1} = 1+\frac{1}{n(n+1)}$
Như vậy, ta có $2008<A<2008+\sum_{n=1}^{2008} \frac{1}{n(n+1)}<2009$, nên $[A]=2008$
Thay vào phương trình đầu, ta có: $30^x+4^x+2008^x=y^{2008}$
$\Leftrightarrow 2^x(2^x+15^x+2^{2x}\cdot 251^x)=y^{2008}$
Do $x;y\in \mathbb{Z^{+}}$, nên $2^x\leq y^{2008}$. Ta cũng có $y\vdots 2$, nên $2^x+15^x+2^{2x}\cdot 251^x = 1$(mâu thuẫn-không xảy ra) hoặc $2^x+15^x+2^{2x}\cdot 251^x\vdots 2$. Vì $15^x$ lẻ với $x\geq 2$, nên nó xảy ra khi $x=1$. Nhưng $x=1$ không thoả mãn phương trình.
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên dương.