Đến nội dung

defaw

defaw

Đăng ký: 14-07-2012
Offline Đăng nhập: Riêng tư
***--

#338525 Tìm số nguyên tố p để $p^n=x^3+y^3$

Gửi bởi defaw trong 21-07-2012 - 17:16

Giải: Ta có $p^n=(x+y)(x^2-xy+y^2)=p^a\cdot p^b$
Suy ra $(x+y)^2=p^{2a}=x^2+2xy+y^2$ mà $x^2-xy+y^2=p^b$
Nên $3xy=p^{2a+b}\Rightarrow p\vdots 3$ mà $p$ là số nguyên tố, muốn để tồn tại các số $x,y,n$ thì $p=3$
Vậy $p=3$ thoả mãn yêu cầu đề bài.

p/s : xem em sai chỗ nào nhé


#338521 Cmr: độ lớn $\widehat{BMC}$ không phụ thuộc vào vị...

Gửi bởi defaw trong 21-07-2012 - 17:09

Giải bài 1:
a) Ta thấy $\triangle BFC$ vuông tại $F$, nên điểm cách đều $B,F,C$ là trung điểm cạnh huyền $BC$.
Tương tự với $\triangle BEC$, trung điểm cạnh huyền cũng có tính chất như vậy. Do đó, điểm $O$ là trung điểm $BC$
b)$\triangle BAE\sim \triangle CAF\Rightarrow AF\cdot AB=AE\cdot AC$
c)Từ b), suy ra $\triangle AEF\sim \triangle ABC\Rightarrow \frac{EF}{a}=\frac{AF}{AC}=\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}\Rightarrow EF=\frac{a}{2}$
d)Ta có $\angle MFH=\angle MHF=90^{\circ}-\angle FAH=90^{\circ}-\angle FCB=90^{\circ}-\angle OFC\Rightarrow MF\perp FO$.


#338515 $(1+\frac{x}{y})(1+\frac{y}...

Gửi bởi defaw trong 21-07-2012 - 16:55

Em thấy với $x=y=z$ thì $(1+\frac{x}{y})+(1+\frac{y}{z})+(1+\frac{z}{x})=6$, còn $2+\frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}=8$, bất đẳng thức bị ngược lại.


#338504 Tuyển tập một số bài phương trình, hệ phương trình thi HSG tỉnh

Gửi bởi defaw trong 21-07-2012 - 16:41

Bài 65: Giải hệ \[\left\{ \begin{array}{l}
30\sqrt {{x_1}} + 4\sqrt {{x_2}} = \sqrt[{2009}]{{{x_3}^{2008}}}\\
30\sqrt {{x_2}} + 4\sqrt {{x_3}} = \sqrt[{2009}]{{{x_4}^{2008}}}\\
............................\\
30\sqrt {{x_{2008}}} + 4\sqrt {{x_1}} = \sqrt[{2009}]{{{x_2}^{2008}}}
\end{array} \right.\]
Đề đề nghị 30/4 tỉnh Trà Vinh 2008



Em thử làm bài 65 xem thế nào vậy:
Giải: Giả sử $(x_{1},x_{2},...,x_{2008})$ là nghiệm của hệ phương trình. Do các số $x_{1},x_{2},...,x_{2008}$ có tính hoán vị vòng quanh, nên ta giả sử $x_{3}=max (x_{1},x_{2},...,x_{2008})$, từ hai phương trình đầu, $\Rightarrow x_{4}>x_{3}$, suy ra $x_{4}=x_{3}$. Làm tương tự với các phương trình sau, ta suy ra
$x_{1}=x_{2}=x_{3}=...=x_{2008}$
Hệ phương trình đã cho tường đương với:
$34\sqrt{x}=\sqrt[2009]{x^{2008}}\Leftrightarrow 34^{4018}\cdot x^{2009}=x^{4016}\Leftrightarrow x^{2009}\cdot (x^{2007}-34^{4018})=0$
$\Leftrightarrow$ $x=0$ hoặc $x=\sqrt[2007]{34^{4018}}$.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
$x_{1}=x_{2}=...=x_{2008}=0$ hoặc $x_{1}=x_{2}=...=x_{2008}=\sqrt[2007]{34^{4018}}$


#338489 Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương $(x;y)$ của phương trình $3...

Gửi bởi defaw trong 21-07-2012 - 16:17

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương $(x;y)$ của phương trình $30^x+4^x+[A]^x=y^{2008}$
Trong đó $[A]$ để chỉ phần nguyên của số thực A với $A=\sqrt{\frac{2}{1}}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}} +\sqrt[4]{\frac{4}{3}}+...+\sqrt[2009]{\frac{2009}{2008}}$


Giải: Trước tiên, ta tính $[A]$, ta có $\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}} > 1$. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho $n+1$ số, ta có:
$\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}=\sqrt[n+1]{1\cdot 1\cdot ...\cdot \frac{n+1}{n}} < \frac{n+\frac{n+1}{n}}{n+1} = 1+\frac{1}{n(n+1)}$
Như vậy, ta có $2008<A<2008+\sum_{n=1}^{2008} \frac{1}{n(n+1)}<2009$, nên $[A]=2008$
Thay vào phương trình đầu, ta có: $30^x+4^x+2008^x=y^{2008}$
$\Leftrightarrow 2^x(2^x+15^x+2^{2x}\cdot 251^x)=y^{2008}$
Do $x;y\in \mathbb{Z^{+}}$, nên $2^x\leq y^{2008}$. Ta cũng có $y\vdots 2$, nên $2^x+15^x+2^{2x}\cdot 251^x = 1$(mâu thuẫn-không xảy ra) hoặc $2^x+15^x+2^{2x}\cdot 251^x\vdots 2$. Vì $15^x$ lẻ với $x\geq 2$, nên nó xảy ra khi $x=1$. Nhưng $x=1$ không thoả mãn phương trình.
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên dương.


#338428 Tìm khoảng cách ngắn nhất?

Gửi bởi defaw trong 21-07-2012 - 15:17

Em nghĩ bài này nên là :
$\text{Hãy dựng đường thẳng d đi qua đỉnh A của tam giác ABC}$
$\text{sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ B và C tới d là nhỏ nhất.}$

Bài này thì có nhỏ nhất rồi :icon6:


#338292 Giait pt : $\begin{pmatrix} \sqrt{x+3}-...

Gửi bởi defaw trong 21-07-2012 - 07:23

Giải: ĐKXĐ: $0\leq x\leq 1$
Ta có $\sqrt{x+3}-\sqrt{x}\geq 1(\Leftrightarrow \sqrt{x}\leq 1)$; $\sqrt{1-x}+1\geq 1$, nên $(\sqrt{x+3}-\sqrt{x})(\sqrt{1-x}+1)\geq 1$, Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow x=1$.


#338026 MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI, DÙNG TỔNG SAI PHÂN

Gửi bởi defaw trong 20-07-2012 - 11:58

Bài 12.Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có:
$a)\frac{n^2}{2}<1+2+...+n<\frac{(n+1)^2}{2}$
$b)\frac{n^3}{3}<1^2+2^2+...+n^2<\frac{(n+1)^3}{3}$

Giải: (a)Bất đẳng thức cần chứng minh tương dương với $\frac{n^2}{2}<\frac{n(n+1)}{2}<\frac{(n+1)^2}{2}$, đúng với $n\in \mathbb{N}$

(b)Bất đẳng thức có thể viết lại thành $\frac{n^3}{3}<\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}<\frac{(n+1)^3}{3}$
(có thể chứng minh quy nạp rằng $1^2+2^2+...+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$), cũng đúng với $n\in \mathbb{N}$ do $2{n^3}<n(n+1)(2n+1)<2(n+1)^3$.



#338011 TOÁN IQ

Gửi bởi defaw trong 20-07-2012 - 11:33

Giải bài 8:
$5\cdot 2\cdot 10+2\cdot 6=112$
$3\cdot 5\cdot 10+5\cdot 9=195$
$7\cdot 9\cdot 10+9\cdot 1=639$
$4\cdot 7\cdot 10+7\cdot 8=336$
$9\cdot 3\cdot 10+3\cdot 2=276$
$?=9\cdot 1\cdot 10+1\cdot 4=\boxed{94}$.


#338005 TOÁN IQ

Gửi bởi defaw trong 20-07-2012 - 11:25

Giải bài 16:
$9+3+7+4=23$, $2+3=5$
$1+2+8+6=17$, $1+7=8$
$7+4+3+2=16$, $1+6=7$
$9+1+5+6=21$, $?=2+1=\boxed{3}$


#337929 $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2...

Gửi bởi defaw trong 20-07-2012 - 06:34

Giải: Do với $n=1,2,3$ thì bất đẳng thức luôn đúng, xét với $n\geq 4$.
Ta thấy khi $n=1$ thì $VT=\frac{1}{2}$, $VP=\frac{7}{10}$ và $\frac{7}{10}-\frac{1}{2}=\frac{1}{5}$, nên ta chứng minh bất đẳng thức chặt hơn sau:
$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}< \frac{7}{10}-\frac{1}{4n}$, với $n\geq 4$
Với $n=4$, bất đẳng thức đúng, nên giả sử bất đăng thức đúng đến $k$, ta chứng minh bất đăng thức cũng đúng với $k+1$, hay chỉ cần chứng minh bất đẳng thức sau:
$\frac{1}{k+1}+\frac{1}{4k}-(\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}+\frac{1}{4k+4})>0$
$\Leftrightarrow 4(2k+1)^2-16k(k+1)>0\Leftrightarrow 4>0$
Vậy bài toán được chứng minh xong.


#337866 Chứng minh R + r $\geq$ $\sqrt{AB.AC}$

Gửi bởi defaw trong 19-07-2012 - 21:53

Giải: Ta có: $R=\frac{1}{2}a$, $r=\frac{b+c-a}{2}$, do đó $R+r=\frac{b+c}{2}\geq \sqrt{bc}$.


#337862 $$\dfrac{ab}{(a-b)^2}+\dfrac{bc...

Gửi bởi defaw trong 19-07-2012 - 21:48

Bài toán [13] [Phùng Văn Sở]
Chứng minh rằng, với mọi số thực $a,b,c$ (nguyên văn là thực dương, nhưng không cần thiết) ta luôn có :
$$\left (a^2+3\right )\left (b^2+3\right )\left (c^2+3\right )\ge \dfrac{4}{27}\left (3ab+3bc+3ca+abc\right )^2$$
Giải: Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau:
$(3b^2+9)(3c^2+9)\geq \frac{4}{3}(3b+3c+bc)^2+4b^2c^2$
$\Leftrightarrow 11b^2c^2+45(b^2+c^2)+243-72bc-24bc(b+c)\geq 0$
$\Leftrightarrow 27(b-c)^2+8(bc-\frac{3}{2}(b+c))^2+3(bc-9)^2\geq 0$
Bất đẳng thức cuối cùng đúng, đẳng thưc xảy ra $\Leftrightarrow b=c=3$
Áp dụng, ta có $(3a^2+9)(3b^2+9)(3c^2+9)\geq (3a^2+9)(\frac{4}{3}(3b+3c+bc)^2+4b^2c^2)\geq (6ab+6bc+6ca+2abc)^2$
$\Leftrightarrow \left (a^2+3\right )\left (b^2+3\right )\left (c^2+3\right )\ge \dfrac{4}{27}\left (3ab+3bc+3ca+abc\right )^2$.
Vậy bài toán được chứng minh xong, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=3$.


#337772 Một người đi từ $A$ đến $B$. Theo dự định là $10...

Gửi bởi defaw trong 19-07-2012 - 20:16

Giải: Ta có thời gian đi từ $A$ đến $B$ khi đi $30km/h$ và $45km/h$ tỉ lệ với nhau là $\frac{45}{30}=\frac{3}{2}$ mà hiệu giữa chúng là $30(\text{phút})=\frac{1}{2}(\text{giờ})$, nên khi đi với vận tốc $30km/h$ thì mất số thời gian là: $\frac{1}{2}\cdot 3= 1.5(\text{giờ})$.
Vậy quãng đường $AB$ có độ dài là $30\cdot 1.5=\boxed{45(\text{km})}$.

Cái phần "dự định đi..." có thể bỏ đi được rồi, thừa quá! :icon6:


#337725 Cho biết DK =$\frac{1}{2}$AB .Tính DK theo R.

Gửi bởi defaw trong 19-07-2012 - 18:12

1. Cho đường tròn (O;R) với OI=2R. Vẽ cát tuyến IAB không qua tâm O. Từ A và B vẹ hai tiếp tuyến cắt nhau tại M. Kẻ MH vuông góc OI cắt cung nhỏ AB tại C và cát tuyến IAB tại N. Gọi K là giao điểm OM với AB

a) Chứng minh tứ giác MKHI nội tiếp và IA.IB=IK.IN
b) Chứng minh: độ dài OH không đồi khi cát tuyến IAB quay quanh I
c) Chứng minh: IC là tiếp tuyến của (O)
d) Cho OI=$\frac{R}{3}$. Tính diện tích tam giác IAH theo R
Giải:
a)
b)Ta có $\triangle OMH\sim \triangle OIK\Leftrightarrow OH=\frac{OM\cdot OK}{OI}=\frac{OA^2}{OI}=\frac{R^2}{2R}=\frac{R}{2}$.
c,Ta có: $OH\cdot OI=OK\cdot OM=OA^2=OC^2$, ta suy ra $\angle OCI=90^{\circ}$, nên IC là tiếp tuyến của (O).
d)Em không hiểu vì $OI=2R$ ở để bài, như vậy thì không tìm được điểm $I$.