vuive97

Bài 450: Cho x,y,z>0 thỏa $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$
Tìm GTLN của $3(xy+xz+yz)-xyz$

Xét (1-x)(1-y)(1-z)= 1-(x+y+z)+xy+yz+zx-xyz
Lại có (1-x)(1-y)(1-z) $\leq$$\frac{(1-x)^{3}+(1-y)^{3}+(1-z)^{3}}{3}= \frac{3-3(x+y+z)+3(x^{2}+y^{2}+z^{2})-(x^{3}+y^{3}+z^{3})}{3}= x^{2}+y^{2}+z^{2}-(x+y+z))\Rightarrow 3(xy+yz+zx)-xyz\leq (x+y+z)^{2}-1$$\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\leq \sqrt[3]{(x^{3}+y^{3}+z^{3})^{2}(1+1+1))}=9\Rightarrow 3(xy+yz+zx)-xyz\leq 8$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$x=y=z=1
Vậy GTLN của biểu thức bằng 8 khi x=y=z=1

Bài 467: Co 3 số thực x,y,z thoả mãn x(x-1)+ y(y-1) +z(z-1)$\leq \frac{4}{3}$. Chứng minh: x+y+z$\leq 4$
Bài 468: Cho 3 số dương x,y,z có x+y+z=1. Chứng minh:
$\frac{1+\sqrt{x}}{y+z}+\frac{1+\sqrt{y}}{z+x}+\frac{1+\sqrt{z}}{x+y}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2}$

Bài 464: Cho a,b,c,x,y,z là các số thực dương. Chứng minh:
$\frac{xa}{b+c}+\frac{yb}{c+a}+\frac{zc}{a+b}\geq \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}-\frac{x+y+z}{2}$
Bài 465: Cho a,b,c là các số thực dương và x$\geq 2$. Chứng minh:
$\frac{a}{\sqrt{a+xb}}+\frac{b}{\sqrt{b+xc}}+\frac{c}{\sqrt{c+xa}}\geq \frac{\sqrt{3(a+b+c)}}{\sqrt{1+x}}$