vuive97

Bài 450: Cho x,y,z>0 thỏa $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$
Tìm GTLN của $3(xy+xz+yz)-xyz$

Xét (1-x)(1-y)(1-z)= 1-(x+y+z)+xy+yz+zx-xyz
Lại có (1-x)(1-y)(1-z) $\leq$$\frac{(1-x)^{3}+(1-y)^{3}+(1-z)^{3}}{3}= \frac{3-3(x+y+z)+3(x^{2}+y^{2}+z^{2})-(x^{3}+y^{3}+z^{3})}{3}= x^{2}+y^{2}+z^{2}-(x+y+z))\Rightarrow 3(xy+yz+zx)-xyz\leq (x+y+z)^{2}-1$$\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\leq \sqrt[3]{(x^{3}+y^{3}+z^{3})^{2}(1+1+1))}=9\Rightarrow 3(xy+yz+zx)-xyz\leq 8$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$x=y=z=1
Vậy GTLN của biểu thức bằng 8 khi x=y=z=1

Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố dạng 4k+3 (k là số nguyên dương)