ntuan5

Lời giải trên sai rồi, nếu bạn cho $t \in R$ thì thậm chí $ty$ không chia hết cho $y$ nữa. Mình thì xét modun $7$

Lời giải trên sai rồi, giả sử tất cả đk thỏa thử $f(x)=2x, x\ge \frac{\sqrt{3}-1}{2}$, thì không thỏa $ f(\frac{1}{x}) \ge \frac{x}{x+1}$ đâu.

Cho 3 số thực dương $a,b,c$. CMR:
$$\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+ab} \leq \frac{6(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}$$

http://www.artofprob...p?f=51&t=506483

1/Cho $0<a<b, m \ge 2, m \in Z$.
$a_1,a_2,...a_n$ không thuộc $(a,b)$, $b_1,b_2,...,b_n$ thuộc $[a,b]$ thỏa: $\sum_{i=1}^n a_i = \sum_{j=1}^k b_j $
a/ Hãy cm: $\sum_{i=1}^n ^m\sqrt{a_i} = \sum_{j=1}^k ^m\sqrt{b_j} $
b/ Hãy cm: $\sum_{i=1}^n a_i^x = \sum_{j=1}^k b_j^x (x \geq 1)$

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, gọi $M$, $N$ lần lượt là hai điểm trên $AB$, $AC$ sao cho $AM = CN$. Xác định vị trí của $M$, $N$ để S_AMN lớn nhất.

S_{AMN = $\frac{sinBAC.AM.AN}{2} \le sinBAC.\frac{(AN+CN)^2}{8}$}

Cho các số nguyên dương đôi một $a,b,c$ nguyên tố cùng nhau.Hãy c/m sự : $xbc+yac+zab=2abc-ab-bc-ac$ là phương trình không có nghiệm tự nhiên.

Bài này mới đầu tưởng dễ nhưng giải ra thì khó .Bằng chứng là bài làm sai của anh duongchelsea.Cách phân tích thật khó nghĩ ra:
PT $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0 \\ x^4-8x-7=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0 \\ (x^2-\sqrt{2}x+1-2\sqrt{2})(x^2+\sqrt{2}x+2\sqrt{2}+1)=0 \end{matrix}\right.$(Chỗ này ai không tin mình thì cứ nhân nát vào nhé,không sao đâu )
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0 \\ x^2-\sqrt{2}x+1-2\sqrt{2}=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}}(1+\sqrt{4\sqrt{2}-1})$
P/s:Với độ "khủng" của nghiệm như thế này thì thật khó nghĩ ra

Làm sao bạn phân tích được nghiệm và biến đổi như vậy

Câu c/ : $2^3-1^3$ không chia hết $2+1$

Với $k,n>1$ thuộc tập nguyên, CM: $4^n.(8k+7)$ không phân tích được thành tổng bình phương ba số nguyên.

1/Cho 3 số $x,y,z \in[0;2]$ và hằng số $a \ge 4$
Hãy chứng minh:
$$(a+x^2)(a+y^2)(a+z^2) \ge [a+\frac{(x+y+z)^2}{9}]^3$$
và:
$$(a+x^3)(a+y^3)(a+z^3) \ge [a+\frac{(x+y+z)^3}{27}]^3$$

Cái này là bđt trong Vacs và Cẩn và Quốc Anh, tương tự với cái này: http://www.artofprob...690187#p2690187

$AH$ là đường cao
$AEPF$ là hình vuông$\rightarrow PE^2+PF^2+PQ^2=AP^2+PQ^2 \ge \frac{(AP+PQ)^2}{2} \ge \frac{AH^2}{2}$
Vậy GTNN là $\frac{AH^2}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi:

$AP=PQ$ hay $P$ là trung điểm $AH$.

Bài 4 khối 10:
Tô hình 8x8 sao cho các sự cột 3,4,7,8 và hàng 1,2,5,6 cùng một màu thì với mọi sự đặt của $Z$ luôn đi qua số lẻ ô màu, 7 $Z$ là số lẻ ô màu , ai ngờ hình vuông luôn phủ số chẵn ô màu ( theo chia hình), nên không thể chia được bàn cờ như trên

Sử dụng trực tiếp BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có

\[\frac{{{x^3}}}{{2x + 3y + 5z}} + \frac{{{y^3}}}{{3x + 5y + 2z}} + \frac{{{z^3}}}{{5x + 2y + 3z}}\]
\[ = \sum {\frac{{{x^4}}}{{2{x^2} + 3xy + 5zx}} \ge \frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}}}{{2({x^2} + {y^2} + {z^2}) + 8(xy + yz + zx)}} \ge \frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}}}{{10({x^2} + {y^2} + {z^2})}}} \ge \frac{1}{{30}}\]

Sai rồi, cái bđt không đối xứng đâu.