ntuan5

Sự bđt (Nguyễn Vũ Anh Tuấn):
Cho:
$x_1,x_2,...,x_n \in [0;2]$
Hãy chứng tỏ:
$(a + x_1 ^ t) (a + x_2 ^ t) ... (a + x_n ^ t) \geq [a + \frac{(x_1+x_2+...+x_n)^t}{n ^ t}] ^ n$
Với: $a\geq1;t, \geq 2 $

Kẻ $DF$ qua $M$ song song với $BC$ ($D,F$ trên $AB,AC$)
$\frac{PM}{PB}+\frac{QM}{QC}=1-\frac{NM}{NA}$
$\frac{MF+MD}{BC}=\frac{MD}{BN}$
$\frac{FD}{BC}=\frac{MD}{BN}=\frac{AD}{AB}$

1/ Kéo $MN$ cắt 2 cạnh của tam giáctại $M',N'$ chỉ cần chứng minh $M'N'$ nhỏ hơn cạnh đối diện.
Có 2 TH:
$M'N'$ đối diện sự lớn nhất, cho là $BC$ thì $\angle{BM'N'}>90\circ$ thế thì $BC>M'N'>MN$
Trường hợp còn lại ( không đối diện cạnh lớn nhất), thì một trong hai góc$N'M'A$ hoặc $M'N'C$ $>90\circ$ suy ra cạnh đối diện của $M'N'$ sẽ lớn hơn $MN$ mà cạnh đó lại nhỏ hơn sự lớn nhất.

Dùng Ta lét vào $FD$với$BA,BK$, dựa vào sự bằng của $BK=BC,DA=DC$
Thì có:
$\frac{CD}{ED}=\frac{AD}{ED}=1+\frac{AE}{ED}=1+\frac{BA}{FD}=1+\frac{BK-AK}{FD}=\frac{BK}{FD}-1=\frac{GK}{GF}-1=\frac{KF}{GF}=\frac{BD}{DG}$
$\frac{CD}{ED}=\frac{BD}{DG}$
Suy ra điều tìm.

Kẻ đường thẳng $d$ song song $BC$ qua $A$ cắt $DF,DE$ tại$X,Y$
Phải c/m $AX=AY$
Chúng ta có:
$\frac{AX}{BD}=\frac{AF}{BF}$
$\frac{CD}{AY}=\frac{CE}{AE}$
Nhân hai sự trên:
$\rightarrow \frac{AX}{AY}=\frac{AF}{BF}.\frac{BD}{CD}.\frac{CE}{AE}=1$
Đúng theo Xê-va

Cộng các sự lại và:
$\sqrt{x} + \sqrt{2-x} \leq 2$
$\frac{x}{\sqrt{x} + \sqrt{2-x}} \ge \frac{x}{2}$
$\vdots$
Thì $RHS$ $\ge x+y+z$
Do đó đẳng thức xảy ra $x=y=z=1$ đã thỏa mãn
Thêm 0.

Có thể c/m không còn $n_o$ khác $0$ bằng cô-si:
$\sqrt{x^3-x^2}+\sqrt{x^2-x}=x\sqrt{x-1} + \sqrt{x^2-x} \leq \frac{x^2+x-1+1+x^2-x}{2}=x^2$
Với đẳng thức không xảy ra,

1/ Dễ thấy: $6n+4=3.2n+3+1=3(2n+1)+1$ luôn thuộc tập $A$
Ai ngờ : $3k+1$ sẽ đổi dạng nếu $k $ lẻ
$k=2t+1$
$3k+1=6t+4$ thuộc tập $A$

a/
Bạn sử dụng định lí Ta-lét với $DB,AC$ và $AB,CE$, dùng các sự bằng nhau $AB=DB,AC=CE$ ta được:
$AH=\frac{AB.AC}{AB+AC}$ ;$ AK=\frac{AC.AB}{AC+AB}$
b/
Ta có: $HB=\frac{AB}{AC}.AH$
$CK=\frac{AC}{AB}.AK$
Nhân 2 sự ta được điều c/m.