ntuan5

Bài pth: Cho $x=y$ xong thế lại vào pt đầu, ta có: $f(x+y)=\frac{f(2x)+f(2y)}{2}$. Thay $y=y+z$, tính $f(x+y+z)$ bằng 2 cách, được:

$f(x)-\frac{f(2x)}{2}=f(y)-\frac{f(2y)}{2}=t=f(1)-\frac{f(2)}{2}=1$. Nên $0=f(x)+f(y)-f(x+y)$, ta được pth cộng tính. Cuối cùng là lí luận để là pth cô-si, và thử lại.

Cho $2n +1 (n > 2)$ số nguyên $ a_{1}<a_{2}<...<a_{2n+1}$ sao cho tổng $n+1$ số bất kỳ trong chúng lớn hơn tổng của $n$ số còn lại. Giả sử $a_{2n+1} = (2n+1)^{2}$, tìm số các bộ $(a_{1};a_{2};...;a_{2n+1})$.

Không biết bài 28 có liên quan đến bài TST 2011 không mà giống như cùng một họ :

Cho dãy ${a_n}$ thỏa mãn $a_0=1,a_1=3$ và $a_{n+2}=1+\left \lfloor \frac{a^2_{n+1}}{a_n} \right \rfloor$ với mọi $n\geq0$

Nếu bạn nào có tính chất về dãy này thì cho mình tham khảo với.

5/ Mình làm cũng dựa trên ý tưởng của đl thặng dư thôi. VIết $n=4a_{k}p+x_{k}=a_{k}q+y_{k}$ để chuyển về được 2 bộ thặng dư. Suy ra:

$x_{k}-y_{k} \vdots a_{k}$. Dễ c/m được tổng các số dư không lớn hơn 2013 khi và chỉ khi tất cả các số dư đều không chia cho $(4v1)a_{i}$ dư$(4v1)a_{i}-1$.

Dựa vào hai điều trên loại ra các trường hợp số dư không thỏa để đi đến tổng của chúng nhỏ hơn 2012.

P/s: Năm nay có đến 3 câu số học, chắc các thầy biết năm nay có thần đồng đây mà.

Bài này chắc là sử dụng quy nạp với hằng đẳng thức ( $f(n)=nf(1)$), dùng phương pháp hằng số bất định ta được:

 Với $n=2k+1$ : $(2k+1)^3+5^3+1^3=(k-4)^3+(4-k)^3+(2k-1)^3$.

 Với n chẵn để sử dụng được phương pháp trên ( khi đưa về bậc thấp, khử được bậc 1 có hai hằng số ở một vế, thì chon $n=2k+2$). Biểu diễn lại $(2k+2)^=(2k-2)+(a-k)^3+(a+k)^3-...-...$. Sau này chắc cũng tìm được hằng số ( sao mình tính cứ nhầm). Cuối cùng là thử lại.

Lúc chứng minh được nhân tính chỉ cần xây dựng các hàm theo các tập nguyên tố $(p);(q)$. Có thể chọn $f(q_i)=\frac{1}{p_i}; f(p_i)=q_i$.

Cảm ơn thầy! Bài làm của em bị sai ở chỗ phương trình không có nghiệm phân biệt, có vẻ nó chỉ đúng khi n nguyên tố.

Bài 2 ý tưởng của em là dùng số phức, không biết có đúng không : Xét đa thức $x^{n}-1=0$ có n nghiệm phức: $a,a^2,...,a^{n}; a^{n}=1$ . Lấy tâp $ A= L \subset X |L|=3 $ sao cho $A_{j}=L \in A: S(L) = j (mod n)$.

Ta có : $x^{n}-1=(x-a)...(x-a^n)$ hệ số của $n-3$ đồng nhất được : $0=(-1)^{3} \sum_{A}a^{S(A)}= \sum_{A} a^j=\sum_{j=0}^{n-1}|A_j|a^i=0 (mod n)$. Mà $a$ cũng là nghiệm của $x^{n-1}+...+1$ nên $A_i=A_j$.

Vậy $A_{0}=\frac{{}_{n}^{3}\textrm{C}}{n}$.

Bạn có thể xem chuyên đề bất biến của thầy Huỳnh Chí Hào

Chứng minh rằng luôn tồn tại số nguyên $x$ sao cho : $x^2+1 \vdots p$ với $p$ là số nguyên tố dạng $4k+1$.

Phần mình cảm thấy những chuyên đề này rất hay, nhất là DTTH. Nhưng phần Số học thì phần ví dụ với bài tập hơi "dễ" so với những bài trong box Số học hiện tại.

1/ Giải phương trình: $x^3+3x^2-\sqrt[3]{2x+1}=-2x-1$.

2/ Có $2013$ đồng xu, mỗi đồng xu có hai mặt xanh đỏ. Xếp các đồng xu trên bảng sao cho các mặt xanh ngửa lên. Thực hiện lật 4 đồng xu bất kì tùy ý ( có thể đổi mặt xanh thành đỏ thành xanh). Hỏi có thể nhận được kết quả mà tất cả các đồng xu mặt đỏ ngửa lên không?

3/Tìm tất cả hàm $f: Q->Q$ thỏa mãn:
$$f(x+y)=f(x)+f(y)+xy$$

4/a/ Tìm các số nguyên tố thỏa: $(p-1)!+1 \vdots p^2$
b/ CMR tồn tại các số nguyên thỏa:
$$\sum_{1\le i_{1} \le ...\le i_{p-2}\le p-1} \vdots p^2$$

5/ Cho các số thực thỏa mãn: $a,b,c \ge -1$ và$2(a+b+c)+3(ab+bc+ac)+3abc=0$. CMR:
$$\sum \frac{bc+b+c+1}{(a+1)^3(c+2b+3)} \ge 1$$

6/ Cho tam giác SAB, đường tròn $(O)$ đi qua A và B cắt các cạnh SB, SA tại C và D. Hai tiếp tuyến với $(O)$ tại A và B cắt nhau tại M, hai tiếp tuyến với $(O)$ tại C;D cắt nhau tại N, AC cắt BD tại K. CMR: 4 điểm M,N,S,K thẳng hàng.

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng :
$\sum \frac{1}{a^2+b^2+2} \le \frac{3}{4}$.

Từ pt sau suy ra : $y \ge 2$, kết hợp với pt trên: $y=2,x=0$.

Cho các số thực dương $a,b,c: a^2+b^2+c^2=3$. CMR:
$\sum \frac{1}{a^2+b+c} \le 1$.